[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线 草稿

定义：
对于二次曲线C：Ax²+By²+Cx+Dy+E=0和一点P（x0，y0）
其中A²+B²≠0，P不在曲线的中心和渐近线上
用x0*x代x²，yo*y代y²，（x0+x）/2代x，（yo+y）/2代y，得到一条直线方程

则称点P和直线l是关于曲线C的一对极点和极线
即点P是直线l关于曲线C的极点，直线l是点P关于曲线C的极线。
特殊的，焦点和准线是曲线的一对特殊的极点和极线。

其实，圆与椭圆的切线与渐切线就是特殊的极线，如图

椭圆类似，即

渐切线（就是个名字而已）那证明一下，防止高一不懂。
切线是x1x+y1y=r2，与x2x+y2y=r2（这个应该易证吧，用向量垂直设点证）
他们都过（x0，y0）则有
x1x0+y1y0=r2，与x2x0+y2y0=r2 ，
而由于两点确定一条直线，则那条过两个点的直线方程就是
x0x+y0y=r2
椭圆证法类似。

抛物线（过原点的那种）咱们就可以求导证明，
设切点，在求导，点斜式表示，还是一样的。
要是不嫌麻烦，一般的二次函数也可以弄出来，自己动手。
其实，椭圆与双曲线也可以求导，据说是隐函数还是什么的，我就不细讲了。

极点极线的性质：
一般的有如下性质（焦点所在区域为曲线内部）
①若P在曲线上，则P的极线是曲线的切线
②若P在曲线内，则P的极线与以P为中点弦平行（仅是斜率相等）
③若P在曲线外，则P的极线是过P做曲线的两条切线的切点的连线。
如图：

注：②的用处就是快速求出中点弦的斜率，比点差法求快。但正规告示应使用点差法。
再注：点差法就是求椭圆的中点弦方程，在基础性质那章会有。

④极点与极线的对偶性
已知P和极线L是关于曲线的极点极线，则L上任一点Pn对应的继续Ln必过点P，
反之亦然，任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上。
如图

⑤过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的极线L上。
（有一回做到简化一点的题目，我就在那无奈啊）
如图

⑥点P是曲线C的极点，他对应的极线为L，则有
Ⅰ.若C为椭圆或双曲线，O是C的中心，直线OP交C与R，交L于Q，则OP*OQ=OR²即OP/OR=OR/OQ
椭圆如图

双曲线如图

Ⅱ.若曲线为抛物线，过点P作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则PR=QR
如图

性质就是以上，下面接例题。
例题我就不手打了，上原文件了。

原图比较暗，为了便于大家观看，我特意修改了一下，特此声明。