一道简单三次函数题的启发--你知道或不知道但应该要知道的知识

大家先试着做一下，我先讲我的
已知实数a,b分别满足a³-3a²+5a=1，b³-3b²+5b=5，求a+b的值

这贴谈两个东西
第一：三次函数的导数、以及导数的导数的作用★★★★★
第二：多项式除法--因式分解、求根用★★★★★

三次函数的导数、以及导数的导数的作用
以y=x³-3x²+5x为例

原函数三次--蓝线
原函数导数二次--红线
原函数导数的导数一次--绿线

第一：易发现绿函数零点的横坐标，与红函数对称轴的横坐标，与蓝函数对称中心的横坐标，是相等的。
第二：不难猜想奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数[这里的奇函数和偶函数是指对称性的关系]

这个大家“感觉”是对的，应该不需要证明。我用通俗的话“分析”一下
绿函数的零点，代表着红函数在此的切线斜率为0，而红函数只有在最值点切线的k=0。
绿函数在零点两侧的y值是相反的，表示着红函数在最值点两侧的切线斜率是相反的，也就是说它是有对称轴的。
红函数在最值两端的函数值是相等的，表示着蓝函数在对称中心两侧的切线是相等的，则它的函数图像是中心对称的。

多项式除法
这个方法在高中的实际有效作用就是求导后找零点方便[高考给的三次函数一般有一零点能看出来]
y=3x³-18x²+33x-18，对它进行因式分解

即y=（x-1）（3x²-15x+18）
即y=3（x-1）（x²-5x+6）
用十字相乘法得y=3（x-1）（x-2）（x-3）

y=x³-7x+6因式分解
对于这种没有二次的项，在作多项式除法时要补全，即
y=x³+0x²-7x+6

再对x²-x+6用十字相乘法，得y=（x-1）（x-2）（x+3）
所以多项式除法，要先
把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐

y=x³-7x+10因式分解
进行一系列特殊值[1、0、-1、2、3、1/2....]代入发现y一直≠0，那么对y赋一些值，保留多余的常数项
x=1时，y=4，那么把原式改为y=x³-7x+6+4，再按楼上方法得
y=（x-1）（x-2）（x+3） +4
这样做的意义是找出对称中心即函数增减区间，便于研究函数图像

多项式除以多项式一般用竖式进行演算
（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．
（2）用被除式的第一项除以除式的第一项，得商式的第一项．
（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．
（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．
被除式=除式×商式+余式
如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

好，我开始解题了

发现两个式子系数是一样的，为了解答，我们研究一下他的图像。
先尝试对其进行多项式除法
显然发现x=0是它的一个解

在对其用十字相乘发现怎么凑也凑不出来，卡住了

对于楼上的傻帽行为，我只能无语。
第一，x=0是废话，完全不需要浪费世间进行多项式除法。
第二，x²-3x+5的△＜0，方程无解，怎么用十字相乘
说明这个三次函数只有一个根，用导数的方法画出其图像
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学完新知识之后，也不能处处想着用新知识解题而遗忘掉曾经学过知识。楼主知晓平方、调和均值不等式之后，处处想着他的用武之地，到了高考之前，仅用过一次调和≤几何]

y=x³-3x²+5x，
y'=3x²-6x+5
y''=6x-6
所以原函数的对称中心的横坐标x=1，代入y=3画出y图像

a³-3a²+5a=1，b³-3b²+5b=5，求a+b的值。
就是求a³-3a²+5a-1=0，b³-3b²+5b-5=0，

对原函数图像平移得

显然，a与b是方程的两个根，且由图像得关于（1，0）对称
所以a+b=2