【点滴之6】解方程的一些问题

但是，在一些课本里我们也常看到下面一些运算
题目：略
解： 由 (x-2)dy=dx
两边用（x-2)除，得到
dy=dx/(x-2)
y=ln(x-2)+C
同样都用x-2除方程两边，一楼按错误对待，据说本楼的运算是正确的，当中有和奥妙？

在辅导孩子功课时，既要把对方看成自己的子女，真心地关心他们（这点绝大多数人都能做到），在学业面前，还要平等相待，相互之间是朋友关系，平等地讨论，绝对不应摆“长辈”的架子（这点多数人不一定能做到）。
具体到前面的例子，孩子会说：
题目：求方程的全部解答： x(x-2)=0
上式两边用（x-2)除得到 x=0。由于x=2是原方程的解，我丢了x=2的解，我错了。
再看2楼的解法：x=2同样是方程(x-2)dy=dx的解，理由就是把x=2代入方程，方程成立。你的解法同样也丢了x=2的解。为什么你的解法就是对的？我的解法就是错的？
同样是丢根，你丢就是对的，孩子丢就不对，孩子当然不服，用什么办法说服孩子？

下面看法仅仅是个人观点，不一定正确，仅供参考。
1）x=2是方程x(x-2)=0的根，理由：把x=2代入方程，两边相等
同样x=2也是方程(x-2)dy=dx的根。理由：把x=2代入方程，两边相等。
正式这个理由，小朋友解题时方程两边用x-2除，导致丢根，我这个大人在解方程(x-2)dy=dx时，两边用x-2除，同样也丢根。两者的性质一样，在丢根这个问题上没有区别。
2）微分方程(x-2)dy=dx的通解是：y=ln│x-2│+C.，理由有两条：
（1）把上式代入方程成立，因此这个函数是方程的解，
（2）解答中包含任意常数，且独立的任意常数的个数等于方程的阶数。
3）让通解中的任意常数取特定数值，这种解答称为特解。物理学要的常常是特解。因此物理学解微分方程的办法是：先求出通解，再用初始条件定常数，得到特解。
4）方程的全部解答与方程的通解是两回事。例如y=ln│x-2│+C.是方程(x-2)dy=dx的通解，但不是这个方程的全部解答，例如x=2就是这个方程的解，但不能从通解中得到。
5）正是这个原因，命题人应该声明：是求给定微分方程的通解？还是全部解答？在这个问题上含糊，应认为是命题人的错误。例如2楼的说法
题目：略
解： 由 (x-2)dy=dx
两边用（x-2)除，得到
dy=dx/(x-2)
y=ln(x-2)+C
到底是让求通解？还是全部解答？不声明是错误的。当然把题目改为
解方程(x-2)dy=dx
或求方程(x-2)dy=dx的解：
这些说法同样是错误的。
6）解微分方程问题，最常遇到的是求通解，不是求全部解答，因此在解题时我不怕丢根。因为我丢的是通解之外的解，命题老爷既然没有让我求，我把它丢了就是十分合理的事。
小朋友求的是给定方程的全部解答，丢根当然错误。

正是由于通解与全部解答不同，因此在求通解时完全可以用一些函数去除方程两边。事实上求解一解微分方程的基本方法就是“分离变量法”，要分离变量常常需要用一些代数式去乘（或除）方程两边，只要我得到的结果符合
1）是解答，及代入后方程成为恒等式
2）含有待定常数，独立的待定常数个数等于方程阶数。
我就可以宣布：求出的是通解。
在求解过程中是否存在丢根？回复也很简单：你仅仅要求我求出通解，我现在求出来了，已经完全符合你的要求，其它问题不予回复。因为命题老爷并没有要求回复，回复就是多余的。
如果命题老爷要求计算方程的全部解答，那事情就麻烦了。例如对方程y"'+y"+y'+y=3，它的全部解答是否就是前面说的通解？我不清楚，按数学规矩，无论说是或不是，都应该给出证明吧，坦白说，我不会证明。我很希望能看到有人给出证明。

看来，部分吧友对x=2是否为方程(x-2)dy=dx的解有不同看法，这是好事，通过讨论总可以吧问题搞清楚的，咱们慢慢来。
1）数学就是从定义出发，凡是与定义不合的说法，一律不成立，这是数学学科的特点，咱们讨论的是数学问题，当然要坚持本学科的特点。这应该成为本帖讨论的共识。
2）什么叫微分方程的解？请查阅一下参考书，以参考书说法为准。我不会贴图，身边有参考书的吧友不妨把图贴出来。（当然，引用的参考书应该是名著，例如上海交通大学出版的物理类用高等数学，或其它公认的物理类用高等数学参考书）
3）对于微分方程(x-2)dy=dx, x=2是否符合参考书上微分方程解的定义？如果符合就是解，不符合就不是解。
先把对错搞清楚，至于如何理解？那是后面的事情。

回复 怒骂老天爷 :看得出来你算过很多数学题，这点是你与很多人不一样的地方。这样，咱们讨论会有更多的共同语言。
不妨仔细想想：求解一阶微分方程，最基本的办法就是分离变量。在用分离变量求解方程时，总得用一些含文字的等式去除方程两边，这应该是实际吧。当你用含文字的等式除两边时，你是否考虑过“丢根”问题，或者说你是否证明过这些含文字的等式不可能为零？实际情况应该是“不见得”。
由于这些含文字的等式可以为零，于是就存在丢根问题。对解代数方程，这是犯规的，但对解微分方程，绝大多数情况下无所谓，因为题目要我求的是通解，我只要把通解求出来即可。我丢掉的根，是通解之外的根。通解部分，我什么根都没有丢。
具体到方程(x-2)dy=dx,你可以参阅一下相关参考书，看看微分方程解的定义是怎么说的，x=2是否符合解的定义。如果符合，还要说x=2不是该方程的解大概说不通吧。

19楼的帖子居然审查了几个小时，我也不知道那条犯规。
欢迎楼上各位捧场。楼主谢谢大家参与。参与是首位，通过参与楼主向各位学习了很多治学方法。很希望通过本帖的讨论，咱们能得到一些有益的结果。
作为个人我不希望睡神参与。原因是睡婶有令：1月5日之前不许睡神上贴吧。楼上各位吧友如果见到睡婶时，千万别说看到睡神。否则后果相当严重。

先说句题外话然后，然后再回复前面吧友提出的问题。
我很想把【点滴之x】搞成一个系列。坦白说，直到现在我心里没有任何计划，每天都到周围几个贴吧潜水，看到有我感兴趣的问题，个人认为值得提出的问题，就把这个问题收入【点滴系列】谈点自己的看法。这样做仅仅希望“结合贴吧实际，发点有益的帖子”，并不想针对任何个人。讨论中如果吧友认为我态度不够友好，请提出，我将马上就改。

回复18楼zhpengzh吧友：我记得微分的原始定义是这样：
1）函数y=f(x)的微分dy.：定义：函数的微分就是函数增量的线性主要部分。根据这个定义可以得到： dy=f'(x)Δx。其中f'(x)是函数y=f(x)在x处的导数。
2）自变量的微分当y=x时,函数y的微分就是自变量x的微分。
根据上面两条，可以把函数的微分记为dy=f'(x)dx。这样改动后具有“一阶微分形式不变”的性质。说白了就是无论x（或y）是自变量，中间变量，或因变量都具有上述的形式，微分公式都可以用。
x=2说明x是常数，常数的微分为零，这是微分的基本公式
具体到微分方程（x-2)dy = dx，x=2是这个方程的解，但不是通解，这类解答有些参考书称为奇异解（或奇解）。奇异解也是方程的解，但是奇异解不在通解这个解得集合里。
如果题目仅要求出通解，我当然可以把奇异解去掉，即我用x-2除方程两边时，我明明知道要丢根，但是丢的不是通解里的根，因此用不着担心。
在求解一阶微分方程时，分离变量法是常用的办法。说白了就是用一些含文字的式子去除方程两边，这样处理一定要丢根，所丢的仅仅是奇异根，用不着担心。

由于时差关系，我这里已经11点半，该睡觉了。本周末要陪孙子到墨尔本打网球比赛，大约周日才能回来。人在外，上网不方便。如有问题请提出，下周一我一定回复。
88.

到家了。看了前面吧友的回帖，谈点看法。
1）微分方程“全部解”与微分方程通解实力那个个不同数学概念。都要满足方程这是共同点，不同点在于通解只要求“独立待定常数等于方程阶数”，全部解是满足这个方程的解得集合。没有任何其他要求。有不同意见的可以参阅一般的高等数学参考书。
2）x=2是微分方程(x-2)dy=dx的一个解答。理由就是把x=2代入这个微分方程后成为恒等式，因此符合解得定义。
把 x=2代入左边，由于左边有因子（x-2)，左边当然为零；x=2代入右边此时x是常数，常数的微分为零。这是微分学的基本微分公式，在几乎任何一本高等数学参考书上都能找到。
3）dy=dx/(x-2)与原来的方程(x-2)dy=dx不是同解方程，因此用方程dy=dx/(x-2)去研究(x-2)dy=dx的性质，原则上是没道理的事情。
4）个人认为这仅仅是普通微积分计算的事情，不涉及任何高深的概念。有分歧查查书就完了。

当x=2时，(x-2)=0当然成立，我实在不清楚这个说法有什么问题；
当x=2时，x就是常数，常数的微分是零，这是微积分最基本的运算，我也看不出有什么问题。

回复zhpengzh：关于【0、9:9循环等于1】的问题，我这样理解
0.9循环=0.9+0.09+0.009+。。。这是一个无穷等比级数，公比r=0.1
令X=o.9循环 (1)
两边乘以r
rX=r乘以0.9循环 （2）
两式相减，左边当然是x(1-r)=0.9X，,右边就是0.9这样得到X=1.
过程中用了两个级数相减的计算，由于所研究的级数绝对收敛，因此怎么算法都无所谓。另外，无穷级数的和是一个确定值，

回复zhpengzh::下面是32楼内容的一部分。
“按照数学归纳法的思想：
当小数位数只有1位时，（0.9：9循环）等于0.9，（1）等于1.0，它们之间没有更多的数字，但是不相等。
当小数位数有n位时，（0.9：9循环）等于0.[n个9]，（1）等于1.[n个0]，它们直接没有更多的数字，但是不相等。
同理，当小数位数为n+1位时，（0.9：9循环）和（1）之间没有更多的数字，但是不相等。
所以，(0.9:9循环)和(1)是相邻的两个数，但是不相等。”
我不同意上述说法。
1）上述说法事实上认为0.9循环是小数点后n个9，其中n有限。
2)我理解的0.9循环是：lim(n→∞)0.99999（共n个9）两者的差别在于（1）缺小lim(n→∞)这个极限过程。也就是说：o.9循环本来表示的是一个无穷级数，而32楼的说法等价于用这个无穷级数的前n项和（部分和）去替代这个无穷级数。前n想部分和与整个无穷级数是两回事。