剪刀胶布的艺术
平面剪拼是一个历史悠久的问题。它要求将给定图形分为有限部分
，然后通过在平面内的刚性变换得到新图形。时至今日，它已经进入了
初中（或高中）数学的课堂，在207年后的今天，继续展现着它的魅力
。此文写给一切每晚望着夜空上的繁星，思考着如何把矩形拼成正方形
，陶醉在数学美妙中的同学。希望大家在看到一个问题时不要急于看答
案，先自己考虑，这样才能深深体会到方法的巧妙。
让我们先热热身：
1、(easy)对于任意三角形，可以将其拼成一个矩形。
解法：取三角形的两条边中点，过这两个点将其用直线切开（就是中位
线），将所得的新三角形从原先的顶点向新底边作垂线，然后用直线切
开。将两个小三角形分别绕原来的两个中点旋转180度，使一边和下面
的梯形左右两腰重合。新图形显然是矩形。
相信这个对大家都不是问题。做几个练习，来熟悉熟悉方法。
练习1：把梯形拼成平行四边形。
练习2：把平行四边形拼成菱形。
练习3：把菱形拼成等边三角形。
练习4：把等边三角形拼成梯形。
看你能不能完成这个循环。2、3还是有些难度的。最好做完之后，活动
开脑子，再看下面的，你会有更大的收获。
下面，有意思的部分开始了：
2、(hard)对于任意矩形，可以将其拼成一个正方形。（假设宽为1）
解法：对于长宽比是1-2的长方形类，过一个顶点作一条长度为长与宽
几何平均数的线段，使它与长边构成一个直角三角形两边，其中长边作
为斜边。延长另一条直角边交对边与一点，两条直角边与这条延长线把
矩形分成了三部分。然后适当平移新的两部分使之和原三角形拼成一个
方形。原理很简单，因为根据相似能求出新三角形的斜边恰好也等于长
宽的几何平均数。
对于长宽比是2-2根号5的长方形类，第一步和之前类似，作出一个
直角三角形。这回无需延长，两条直角和对边已经有了交点。作出正方
形的轮廓，轮廓和直角边把矩形分成4部分。保持中间部分不动，适当
平移另外三部分就能拼好了。原理是类似的。
对于长宽比是2根5-3根10和大于3根10的，按理说还应该分类讨论
，适当更改上述方法也可以达到目的（大家可以考虑一下为什么是2根5
、3根10这样的数，图片里有完整的分类标准）。不过我们完全可以让
问题简单一些。解决方法很巧妙（得意地说，这是作者本人想出来的）
：把矩形沿两短边中点切成全等两块，然后平移，得到一个长宽比是原
来四分之一的矩形。这一定能做到吗？因为长宽比肯定大于1，所以对
于长宽比大于4的矩形都可以办到。可喜的是，2根5是大于4的。所以一
切比值大于它的矩形，都能经过有限次缩小长宽比到原来1/4的迭代变
成刚才那两种情况的矩形。顺便指出，根据转化法，只需证第一种即可
，第二种可以细分类然后归结到第一种，但是为了叙述方便，还是给出
来两种。至此，对于长宽比属于区间[1，+infinity)的矩形（亦即所有
矩形），都能剪拼成正方形。
练习5：尝试构造另一种化矩为方通法，并画图验证。
虽然第二条已经很令人震惊，但是最精彩的还没有到来。运用第二条，
我们可以马上推出：
3、(extreme)任意两个面积相等的矩形可以互相转化。
解法：先把一个矩形转化为正方形，然后再进行逆操作，变成另一个矩
形。
练习6：尝试不经过正方形的过渡，直接互相转化两个面积相等而不全
等的矩形。这是可以办到的。
下面，有请Wallace-Bolyai-Gerwien定理出场（鼓掌）：
4、(brainstorm)任意两个面积相等的简单多边形可以通过剪拼互相转
化,任意两组面积相等的多边形集也可以互相转化。
解法：先把一个简单多边形沿对角线切分成小三角形。运用第一条，把
它们都转化为好处理的矩形。运用第三条，把它们转化成宽统一，长不
定的矩形。然后虚拟出另外一个多边形的剪拼，把它变成一个宽和上一
个矩形相等的矩形。它们必然全等，因为面积相等决定了长的一致。现
在把第一个矩形按照虚拟过程的逆过程进行操作，直到变成另一个简单
多边形。至于多边形集，把它们先拼到一起，然后如法炮制。
注意，在这四条定理的证明中，所有的步骤都是尺规可做的（从而
也是折纸可做的,即通过折纸公理可以完成的操作），所以我们可以现
实地进行这些步骤。换句话说，给你两个面积相等的多边形，你能实实
在在地用剪刀、胶布、尺子、圆规花上1个小时把其中一个变得和另一
个一模一样。这让这个问题相对于Tarski问题之类的东西变得更有实际
性和趣味性。
是否有恍然大悟的感觉？老师课上讲的、难倒好多人的剪拼问题，
是不是都迎刃而解？是的，就是这么简单，这么奇妙。回顾证明能够发
现，对于关键的第二步，有许多种解决方法。这里挑选的是作者认为比
较简单的一个。方法很多，只要愿意动脑子，就能得到回报。但是，能
想到第三条而推出第四条的很少。事实上，作者花了很长时间才想到这
个的。这看似是一个边数、形状上的量变，然而本质上却是思想方法的
质变。同样，从一个普通人到一个拥有数学思维头脑的人，以至于一个
数学家，也是看似量变实则质变的过程。动脑子的经验要日积月累，才
能实现这个过程。
回到分割问题本身。有些遗憾的是，对于代数曲线以至于任意曲线
构成的封闭图形，这种分割是做不到的。拓展为可数甚至不可数也不太
可能。分割画圆为方的不可解性、Banach分球悖论可以证实这一点。
（Tarski问题是特例，因为分出了好多不可测碎块）。希尔伯特第三问
题，看似复杂的“合同公理”，实则是说的这个问题的三维推广。然而
，德恩在1年之内就否定了它的可能性。
虽然这个问题这么初等，虽然有些道路看似已经被封住，但是这并
不意味着它没有继续研究的价值。比如说，把特定形状的图形用最少分
割次数（或者块数）拼成另外一个指定图形，仍然是有待研究的问题。
只有通过这种无穷无尽的思维延伸，我们才能领略到数学思想的力量。
即便数学家们早已探寻过图形分割的秘密，许多人仍然夜望繁星，
希望化矩为方。正因为如此，平面分割问题将作为数学史中的一颗明珠
，永远为我们所记住，所回味。
最后，希望大家都喜欢上数学。
the end
by biganus2131，a mathfan in class1grade3
平面剪拼是一个历史悠久的问题。它要求将给定图形分为有限部分
，然后通过在平面内的刚性变换得到新图形。时至今日，它已经进入了
初中（或高中）数学的课堂，在207年后的今天，继续展现着它的魅力
。此文写给一切每晚望着夜空上的繁星，思考着如何把矩形拼成正方形
，陶醉在数学美妙中的同学。希望大家在看到一个问题时不要急于看答
案，先自己考虑，这样才能深深体会到方法的巧妙。
让我们先热热身：
1、(easy)对于任意三角形，可以将其拼成一个矩形。
解法：取三角形的两条边中点，过这两个点将其用直线切开（就是中位
线），将所得的新三角形从原先的顶点向新底边作垂线，然后用直线切
开。将两个小三角形分别绕原来的两个中点旋转180度，使一边和下面
的梯形左右两腰重合。新图形显然是矩形。
相信这个对大家都不是问题。做几个练习，来熟悉熟悉方法。
练习1：把梯形拼成平行四边形。
练习2：把平行四边形拼成菱形。
练习3：把菱形拼成等边三角形。
练习4：把等边三角形拼成梯形。
看你能不能完成这个循环。2、3还是有些难度的。最好做完之后，活动
开脑子，再看下面的，你会有更大的收获。
下面，有意思的部分开始了：
2、(hard)对于任意矩形，可以将其拼成一个正方形。（假设宽为1）
解法：对于长宽比是1-2的长方形类，过一个顶点作一条长度为长与宽
几何平均数的线段，使它与长边构成一个直角三角形两边，其中长边作
为斜边。延长另一条直角边交对边与一点，两条直角边与这条延长线把
矩形分成了三部分。然后适当平移新的两部分使之和原三角形拼成一个
方形。原理很简单，因为根据相似能求出新三角形的斜边恰好也等于长
宽的几何平均数。
对于长宽比是2-2根号5的长方形类，第一步和之前类似，作出一个
直角三角形。这回无需延长，两条直角和对边已经有了交点。作出正方
形的轮廓，轮廓和直角边把矩形分成4部分。保持中间部分不动，适当
平移另外三部分就能拼好了。原理是类似的。
对于长宽比是2根5-3根10和大于3根10的，按理说还应该分类讨论
，适当更改上述方法也可以达到目的（大家可以考虑一下为什么是2根5
、3根10这样的数，图片里有完整的分类标准）。不过我们完全可以让
问题简单一些。解决方法很巧妙（得意地说，这是作者本人想出来的）
：把矩形沿两短边中点切成全等两块，然后平移，得到一个长宽比是原
来四分之一的矩形。这一定能做到吗？因为长宽比肯定大于1，所以对
于长宽比大于4的矩形都可以办到。可喜的是，2根5是大于4的。所以一
切比值大于它的矩形，都能经过有限次缩小长宽比到原来1/4的迭代变
成刚才那两种情况的矩形。顺便指出，根据转化法，只需证第一种即可
，第二种可以细分类然后归结到第一种，但是为了叙述方便，还是给出
来两种。至此，对于长宽比属于区间[1，+infinity)的矩形（亦即所有
矩形），都能剪拼成正方形。
练习5：尝试构造另一种化矩为方通法，并画图验证。
虽然第二条已经很令人震惊，但是最精彩的还没有到来。运用第二条，
我们可以马上推出：
3、(extreme)任意两个面积相等的矩形可以互相转化。
解法：先把一个矩形转化为正方形，然后再进行逆操作，变成另一个矩
形。
练习6：尝试不经过正方形的过渡，直接互相转化两个面积相等而不全
等的矩形。这是可以办到的。
下面，有请Wallace-Bolyai-Gerwien定理出场（鼓掌）：
4、(brainstorm)任意两个面积相等的简单多边形可以通过剪拼互相转
化,任意两组面积相等的多边形集也可以互相转化。
解法：先把一个简单多边形沿对角线切分成小三角形。运用第一条，把
它们都转化为好处理的矩形。运用第三条，把它们转化成宽统一，长不
定的矩形。然后虚拟出另外一个多边形的剪拼，把它变成一个宽和上一
个矩形相等的矩形。它们必然全等，因为面积相等决定了长的一致。现
在把第一个矩形按照虚拟过程的逆过程进行操作，直到变成另一个简单
多边形。至于多边形集，把它们先拼到一起，然后如法炮制。
注意，在这四条定理的证明中，所有的步骤都是尺规可做的（从而
也是折纸可做的,即通过折纸公理可以完成的操作），所以我们可以现
实地进行这些步骤。换句话说，给你两个面积相等的多边形，你能实实
在在地用剪刀、胶布、尺子、圆规花上1个小时把其中一个变得和另一
个一模一样。这让这个问题相对于Tarski问题之类的东西变得更有实际
性和趣味性。
是否有恍然大悟的感觉？老师课上讲的、难倒好多人的剪拼问题，
是不是都迎刃而解？是的，就是这么简单，这么奇妙。回顾证明能够发
现，对于关键的第二步，有许多种解决方法。这里挑选的是作者认为比
较简单的一个。方法很多，只要愿意动脑子，就能得到回报。但是，能
想到第三条而推出第四条的很少。事实上，作者花了很长时间才想到这
个的。这看似是一个边数、形状上的量变，然而本质上却是思想方法的
质变。同样，从一个普通人到一个拥有数学思维头脑的人，以至于一个
数学家，也是看似量变实则质变的过程。动脑子的经验要日积月累，才
能实现这个过程。
回到分割问题本身。有些遗憾的是，对于代数曲线以至于任意曲线
构成的封闭图形，这种分割是做不到的。拓展为可数甚至不可数也不太
可能。分割画圆为方的不可解性、Banach分球悖论可以证实这一点。
（Tarski问题是特例，因为分出了好多不可测碎块）。希尔伯特第三问
题，看似复杂的“合同公理”，实则是说的这个问题的三维推广。然而
，德恩在1年之内就否定了它的可能性。
虽然这个问题这么初等，虽然有些道路看似已经被封住，但是这并
不意味着它没有继续研究的价值。比如说，把特定形状的图形用最少分
割次数（或者块数）拼成另外一个指定图形，仍然是有待研究的问题。
只有通过这种无穷无尽的思维延伸，我们才能领略到数学思想的力量。
即便数学家们早已探寻过图形分割的秘密，许多人仍然夜望繁星，
希望化矩为方。正因为如此，平面分割问题将作为数学史中的一颗明珠
，永远为我们所记住，所回味。
最后，希望大家都喜欢上数学。
the end
by biganus2131，a mathfan in class1grade3
2楼2014-01-16 17:46收起回复
