了解一下

谢谢

有了基矢量的概念后，我们就可以来看看我们真正要处理的问题了。首先我们来考虑一维空间：一根坐标轴，上面有一个基矢量，其长度为1，有一个我们要观察的矢量，其长度为6，那么在这个基矢量下测量该矢量的坐标，结果就是6。
现在，在这个一维空间中，我们有另一个基矢量，其长度为1/3，那么在此基矢量下测量该矢量的坐标，结果就是18.
从以上例子我们可以看出，对于同一个矢量，在不同的基矢量下测量，所得的坐标不同，更进一步看，第二个基矢量的长度变成了第一个基矢量长度的1/3，由于被测矢量的客观长度不应该随着所选用基矢量的改变而改变，而应该一直保持6的客观长度；另一方面，被测矢量的长度又等于某个基下，基矢量的长度乘以坐标。所以为了保持客观长度不变，在基矢量变为原来的1/3的情况下，坐标就要变为原来的3倍，变成18.
一般地，我们有：对于同一个被测矢量而言，其客观长度是不随所选基矢量而变化的，所以，当第二个基矢量变为第一个基矢量的 k 倍以后，第二个坐标应该变为第一个坐标的 1/k。
更一般地，扩大到n维的情况：一个矢量在某一个坐标系 x 中某点处一组基矢量下可以分解为：

在另一个坐标系 y 中同一点处的另一组基矢量下可以分解为：

这里的上标和下标只是起到区别的作用，具体意义后面会说到。从上面的分析，我们知道，如果 y 系中的第 i 个基矢量变为 x 中第 i 个基矢量的 ki 倍：

并且我们测得，y 系中的第 i 个坐标变为 x 中第 i 个坐标的 mi 倍：

要保持所测矢量的客观长度不变，那么必有，对所有的 i = 1,2...n：

也就是说，两套坐标系之间，第 i 个基矢量的转换系数，与第 i 个坐标的转换系数，两者必须互为倒数，才能保证坐标与基矢量组合成的合矢量是一个客观不变量。
反过来，我们可以这样来定义：我们现在分别在两套坐标系中测量某个量，这个量定义于某个点处。如果我们测量得该点处的两套基矢量，又测量得该点处待测量的两套坐标，并且发现，在两套坐标系之间，基矢量的转换系数与坐标的转换系数互为倒数，那么我们就肯定，这个待测量是一个不随坐标变化而改变的量，这样的量，我们称之为不变量。物理学非常喜欢这样的量，并且认为所有重要的物理量都应该是不变量，这样，用这些量表达的物理规律才能不随观察者所在的参考系改变而改变，才是表达客观世界的规律。
不变量的种类很多，我们主要研究其中的有限一种或几种。根据上面的论述，我们虽然知道：不同坐标系之间，基矢量的变换系数与坐标的变换系数互为倒数。但我们并不知道变换系数的具体值是多少，我们最开头举的那个一维空间的例子中，变换系数是1/3和3，那是我随意取的。但真正要研究不变量，就不能这样任意取变换系数，而是应该依据一定的规律来取。我们真正的研究重点是这样取变换系数的不变量：变换系数就取为坐标系之间的变换。什么意思呢？就是说，比如举个例子，对于n维空间，x 系中的任意一个点有n个坐标来描述：

同理，y 系中同一个点也可以有n个坐标来描述：

由于每一个 xi 坐标都是另外 n 个 y 坐标的连续函数，反过来也一样，所以每一个点处都存在以下这些偏导数：
，
我们要研究的，就是变换系数取为这些偏导数的那种不变量，至于哪些变换系数取哪些偏导数，我们后面慢慢谈。这样的不变量，我们称之为张量。当然，也有其他不变量，它们的变换系数取为其他的东西，其中某一类和张量不同的叫做旋量，在物理学中也有重要的应用。
所以，张量就是：在不同坐标系下，变换系数取坐标变换偏导数的那些不变量。由此我们也可以知道，矢量也是张量的一种，它是一阶张量，由坐标与基矢量组合而成。既然矢量是张量，那么矢量并乘而得到的高阶并矢也是张量，当然也满足我们上面论述的那些关系。

好帖

还有呢。。

厉害

问一个问题 如何证明球是曲面

好贴

顶楼主，超级巧合我们做了相同的事，可惜我现在才看到这篇帖子。。。。之前浪费了太多时间在寻找张量的教程上，学习张量之难，感慨万千！

写的很好，感谢楼主

楼主您好，我是一个张量初学者，想请教一个问题：度量张量与转移张量本质上是不是同一个张量