7道数论小题，有时间的进来讨论一下吧。

第1题，先考虑a，b互质的情况，利用(ax+by)(ay+bx)=xy(a^2+b^2)+ab(x^2+y^2)，以及a、b分别与a^2+b^2互质，就得到a^2+b^2|x^2+y^2。
如果a，b不互质，令a=da1，b=db1，类似证明a1^2+b1^2|x^2+y^2。

第2题，设a，b最大公约数为d，a=dm，b=dk。
(d^2)*mk|(d^n)*((m+k)^n)，即mk|(d^(n-2))*((m+k)^n)。
注意到(k,m+k)=(k,m)=1，所以k|d^(n-2)，所以dk|d^(n-1)，b|a^(n-1)

第3题，假设x+y-1=p为质数，不妨设x大于等于y。
因为x，y大于1，故x，y小于p。
由于p|x^2+y^2-1-(y+1)(x+y-1)，
故p|x(x-y-1)，所以p|x-y-1，只能x=y+1，
此时p=x+y-1=2y为合数，矛盾。

吐槽一下，初中蓝本里都有貌似

第四题，设a=2m，b=2n+1.m和n都是正整数。那么三个数变为c+4mn+2m,c+2m,c+2n+1.取c=m²+n²-2mn-2m即可得c+4mn+2m=(m+n)²，c+2m=(m-n)²，c+2n+1=(n-m+1)²得证

第七个是俄罗斯的初中题:
a^2-ad+b-cd=0有整根
故Δ=d^2-4(b-cd)=d^2+4cd-4b=(d+2c)^2-4(b+c^2)<(d+2c)^2
Δ是一个与d+2c奇偶性相同的平方数。故Δ<=(d+2c-2)^2.展开就是第七题要的结论

第六道我前年做过
p|(q-1)(q+1)
由于p是素数，故p|q+1或p|q-1.
a.)p|q+1,
则q+1+p>=2p,p|q+1+p.故是合数
b.)p|q-1.设q=kp+1,k是自然数，显然是正整数。
(kp+1)|(p^2+1)
故(kp+1)|k(p^2+1)-p(kp+1)=k-p.
断言k=p,不然有|k-p|>=(kp+1)
平方得到(k^2-1)(p^2-1)<=-4pk.
矛盾
故q=p^2+1
p,q是素数，奇偶性不同。故p=2,q=5.
p+q-1=6是合数

b.)d=p
故a+c=px^2,b+c=py^2
p=a-b=p(x^2-y^2)
故x^2-y^2=1
故必然有x=1,y=0
这与b+c>0矛盾。
帮忙看看有没有错。

第五个我前年也做过。
记p=a-b是素数
(a+c)(b+c)=4c^2(*)是平方数
设d=(a,b).则d|a+c,d|b+c,
故d|p.因p是素数，故d=1或p.
a.)d=1,
则a+c,b+c都是完全平方数(记为x^2,y^2)
但是x^2-y^2=(x+y)(x-y)=p是素数。
a+c=(p^2+2p+1)/4,b+c=(p^2-2p+1)/4.
代入(*)知c=(p+1)(p-1)/8
这就有8c+1=p^2.

⋯

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