种群在“无限”的环境中，即假定环境中空间、食物等资源是无限的，因而其增长率不随种群本身的密度而变化，这类增长通常呈指数增长，可称为与密度无关的增长，又称为“J”型增长。
与密度无关的增长又可分为两类：如果种群的各个世代彼此不相重叠，例如，一年生植物和许多一年生殖一次的昆虫，其增长是不连续的、分步的，称为离散增长，一般用差分方程描述；如果种群的各个世代彼此重叠（如人和多数兽类），其种群增长是连续的，可用微分方程描述。
（1）种群离散增长模型
最简单的单种种群增长的数学模型，通常是把世代t+1的种群Nt+1与世代t的种群Nt联系起来的差分方程：Nt+1=λNt或Nt=Noλt（N为种群的大小，t为时间，λ为种群的周限增长率）。
例如，一年生生物（即世代间隔为一年）种群，开始时10个雌体，到第二年成为200个，那就是说，N0=10，N1=200，即一年增长20倍，以λ代表两个世代的比率：λ=N1/N0=20。
如果种群在无限的环境下以这个速度年复一年地增长，其种群数量为10，10×20^1，10×20^2，10×20^3，…，Nt=N0λt。
λ是种群离散增长模型中有具体意义的参数，其生物学意义为（图4-2）：λ>1，种群数量上升；λ=1，种群数量稳定；0<λ<1，种群数量下降；λ=0，雌体没有繁殖，种群在下一代中灭亡。
图4-2 λ值的生物学意义图解
无论是在实验室还是在田间观察都能发现，很多种群在一个新环境定居或通过了瓶颈（bottle neck）期以后，其种群增长形式很像是几何级数增长。例如，在20世纪30年代曾将环颈雉引入美国华盛顿州海岸附近的一个岛屿，此后环颈雉种群的增长如图4-3所示：最初几年种群增长很慢，到40年代时种群增长加快，由于环颈雉是一种经济狩猎鸟类，所以种群的增长受到了限制，但在此之前的增长形式很像是λ=1.46的几何级数增长模型，其理论曲线就是图中的虚线。环颈雉种群是从1937年的50只开始增长的，应当注意的是，环颈雉的越冬死亡率降低了每年春季所观察到的种群数量（低于前一年秋季的个体数量），结果使种群的增长曲线呈“Z”型（图4-3）。
图4-3 20世纪30年代美国某岛屿环颈雉种群增长图
（2）种群连续增长模型
大多数种群的繁殖都要延续一段时间并且有世代重叠，就是说在任何时候，种群中都存在不同年龄的个体。这种情况要以一个连续型种群模型来描述，涉及到微分方程。假定在很短的时间dt内种群的瞬时出生率为b，死亡率为d，种群大小为N，则种群的每员（单位）增长率（per-capita rate of population growth）r=b－d，它与密度无关。即：
dN/dt=（b－d）N=rN。其积分式为：Nt=NOert。
例如，初始种群NO=100，r为0.5，则1年后的种群数量为100e0.5=165，2年后为100e1.0=272，3年后为100e1.5=448。
以种群大小Nt对时间t作图，得到种群的增长曲线，呈“J”型。
r是一种瞬时增长率，其与λ的关系为：λ=er，其生物学意义为：λ>1，r>0，种群上升；λ=1，r=0，种群稳定；0<λ<1，r<0，种群下降；λ=0，r=-∞，种群灭亡（图4-4）。
图4-4 连续增长模型中r的意义
在温箱中培养的细菌，如果从一个细菌开始，通过分裂增长，数量为2，4，8，16……在短期内能表现出指数增长。许多具有简单生活史的动物在实验室培养时也有类似指数增长。在自然界中，一些一年生的昆虫，甚至某些小啮齿类，在春季良好条件下，其数量也会呈指数增长。值得一提的是16世纪以来，世界人口表现为指数增长，所以一些学者称为人口爆炸（图4-5）。
图4-5 2 000年来世界人口增长曲线
与密度无关的增长又可分为两类：如果种群的各个世代彼此不相重叠，例如，一年生植物和许多一年生殖一次的昆虫，其增长是不连续的、分步的，称为离散增长，一般用差分方程描述；如果种群的各个世代彼此重叠（如人和多数兽类），其种群增长是连续的，可用微分方程描述。
（1）种群离散增长模型
最简单的单种种群增长的数学模型，通常是把世代t+1的种群Nt+1与世代t的种群Nt联系起来的差分方程：Nt+1=λNt或Nt=Noλt（N为种群的大小，t为时间，λ为种群的周限增长率）。
例如，一年生生物（即世代间隔为一年）种群，开始时10个雌体，到第二年成为200个，那就是说，N0=10，N1=200，即一年增长20倍，以λ代表两个世代的比率：λ=N1/N0=20。
如果种群在无限的环境下以这个速度年复一年地增长，其种群数量为10，10×20^1，10×20^2，10×20^3，…，Nt=N0λt。
λ是种群离散增长模型中有具体意义的参数，其生物学意义为（图4-2）：λ>1，种群数量上升；λ=1，种群数量稳定；0<λ<1，种群数量下降；λ=0，雌体没有繁殖，种群在下一代中灭亡。
图4-2 λ值的生物学意义图解
无论是在实验室还是在田间观察都能发现，很多种群在一个新环境定居或通过了瓶颈（bottle neck）期以后，其种群增长形式很像是几何级数增长。例如，在20世纪30年代曾将环颈雉引入美国华盛顿州海岸附近的一个岛屿，此后环颈雉种群的增长如图4-3所示：最初几年种群增长很慢，到40年代时种群增长加快，由于环颈雉是一种经济狩猎鸟类，所以种群的增长受到了限制，但在此之前的增长形式很像是λ=1.46的几何级数增长模型，其理论曲线就是图中的虚线。环颈雉种群是从1937年的50只开始增长的，应当注意的是，环颈雉的越冬死亡率降低了每年春季所观察到的种群数量（低于前一年秋季的个体数量），结果使种群的增长曲线呈“Z”型（图4-3）。
图4-3 20世纪30年代美国某岛屿环颈雉种群增长图
（2）种群连续增长模型
大多数种群的繁殖都要延续一段时间并且有世代重叠，就是说在任何时候，种群中都存在不同年龄的个体。这种情况要以一个连续型种群模型来描述，涉及到微分方程。假定在很短的时间dt内种群的瞬时出生率为b，死亡率为d，种群大小为N，则种群的每员（单位）增长率（per-capita rate of population growth）r=b－d，它与密度无关。即：
dN/dt=（b－d）N=rN。其积分式为：Nt=NOert。
例如，初始种群NO=100，r为0.5，则1年后的种群数量为100e0.5=165，2年后为100e1.0=272，3年后为100e1.5=448。
以种群大小Nt对时间t作图，得到种群的增长曲线，呈“J”型。
r是一种瞬时增长率，其与λ的关系为：λ=er，其生物学意义为：λ>1，r>0，种群上升；λ=1，r=0，种群稳定；0<λ<1，r<0，种群下降；λ=0，r=-∞，种群灭亡（图4-4）。
图4-4 连续增长模型中r的意义
在温箱中培养的细菌，如果从一个细菌开始，通过分裂增长，数量为2，4，8，16……在短期内能表现出指数增长。许多具有简单生活史的动物在实验室培养时也有类似指数增长。在自然界中，一些一年生的昆虫，甚至某些小啮齿类，在春季良好条件下，其数量也会呈指数增长。值得一提的是16世纪以来，世界人口表现为指数增长，所以一些学者称为人口爆炸（图4-5）。
图4-5 2 000年来世界人口增长曲线
