求问一道与主轴问题相关的题目

我的解答过程：
因为：{AI}为一组两两可交换的实对称矩阵，所以：A1*A2*...*An为实对称矩阵
设：A=A1*A2*...*An,则：存在一个正交矩阵U，使得:U^T*A*U=B,其中：B为对角元素为A的所有特征值的对角矩阵
又因为：U^T*U=U*U^T=I
所以：:U^T*A*U=U^T*A1*A2*...*An*U=U^T*A1*U*U^T*A2*U*U^T...*U*U^T*An*U=B
设：Bi=U^T*Ai*U,则：Bi为实对称矩阵，且U^T*A*U=B1*B2*...*Bn=B
现在只需证明：Bi为对角矩阵（i=1，2，...，n）,就可以推得“U为满足题意的正交矩阵“，但就是这里不会

过程：
因为{AI}为一组两两可交换的实对称矩阵，所以A1*A2*...*An为实对称矩阵
设A=A1*A2*...*An,则：存在一个正交矩阵U，使得:U^T*A*U=B,其中B为对角元素为A的所有特征值的对角矩阵

紧接着上面
又因为 U^T*U=U*U^T=I
所以
U^T*A*U.
=
U^T*A1*A2*...*An*U
=
U^T*A1*U*U^T*A2*U*U^T*...*U*U^T*An*U
=
B
设Bi=U^T*Ai*U,则 Bi为实对称矩阵，且U^T*A*U=B1*B2*...*Bn=B
现在只需证明 Bi为对角矩阵（i=1，2，...，n）,就可以推得 U为满足题意的正交矩阵，但就是这里不会