大神

标记一下，我不会，看看大神们的思路。

数值求解了一下 AB 连线相对竖直方向的夹角，结果如下图，时间（横轴）以 sqrt(L/g) 为单位，从图上看这个夹角不会小于 0，所以结论是 B 不会越过 A。我觉得数学上应该能证明这是个周期运动，这样这个问题就可以终结了，不过我没证出来

（接 5 楼）附夹角的运动方程（通过体系的拉格朗日量可以得到），下面的 phi 是 5 楼提到的夹角减去 theta

注意到 phi=0 是一个静态平衡解，在其附近做小振动近似可将上式变为

这是一个简谐运动方程，它是有周期的，且可以解出

但实际情况是 phi 的初值为 -pi/6，这谈不上是个小角度，小振动近似的有效性待考，不过我们看到 5 楼的数值解大致给出一个 T=5 的周期运动，所以这个近似还凑合。如果有大佬知道如何证明上面运动方程的周期性，烦请告知。

换个角度思考，杆子带着两个球一起向下运动，只看沿着杆子的方向，补充一个向右上的惯性力，此时可以把A看做与杆子保持静止，小球B受到一个沿杆子向右的惯性力和重力，还有绳子拉力；重力和惯性力都不变可以直接合并成一个等效力，这个等效力是刚好和杆子垂直的，所以不会超过。

（接 6 楼）证出周期了，用运动积分。对 6 楼的运动方程两侧乘 phi' 并对 t 积分，可以得到

这个常数 const 在一般语境下可以被理解为能量，也就是说 phi 的运动方程是“能量守恒”的，注意后面的“势能项” -cos(theta)cos(phi) 在 -pi/2<phi<pi/2 的范围内是一个凹函数，最低处正处于 phi=0，因此这是一个束缚势，对于初始条件 phi’=0，所解出的运动也一定是束缚运动，具有周期，因此 phi 会不断在 -theta<phi<theta 这个区间内振荡，从而 B 永远不会越过 A。证毕。
PS 8 楼提出这个问题总是可以等效为轨道为水平的情况，这个思路也是可取的，且能量守恒在这个思路下更明显。

楼主要的运动方程