看似简单的翻硬币谜题

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不知道现在贴吧什么机制，新发的帖子不在最上

先试做前五题：
⓪7翻5：
7正0反
2正5反
(1正1反)(4正1反)=5正2反
0正7反
①9翻5：
9正0反
4正5反
(2正2反)(3正2反)=5正4反
0正9反
②8翻3：
8正0反
5正3反
(3正2反)(1正2反)=4正4反
(2正2反)(1正3反)=3正5反
0正8反
③7翻3：
7正0反
4正3反
(2正2反)(1正2反)=3正4反
0正7反
④10翻4：
10正0反
6正4反
(3正3反)(1正3反)=4正6反
0正10反
⑤8翻5：
8正0反
3正5反
(1正2反)(3正2反)=4正4反
(2正2反)(3正1反)=5正3反
0正8反
感觉跟奇偶值的变化有关系。。。

简单拆解下就出来了 只要讨论6 7 8 9 这四种情况即可 其他都等价的 你一爪子翻五个 翻过去最后肯定是这四种情况

我不想再打一遍了 简单的说就是一爪子翻五个 翻到余1 2 3 4这四种情况 翻得次数记作n 其中有能还原或者不能 n加上四种能还原的固定次数就是最终的值

上面是指定翻5的 至于其他指定也一样的 也就是讨论余数 应该是这么回事

再答两题：
⑦6翻5：
6正0反
1正5反
(0正1反)(4正1反)=4正2反
(1正3反)(2正0反)=3正3反
(0正3反)(2正1反)=2正4反
(1正1反)(4正0反)=5正1反
0正6反
⑧14翻11：
14正0反
3正11反
(0正3反)(8正3反)=8正6反
(2正6反)(5正1反)=7正7反
(1正6反)(5正2反)=6正8反
(3正3反)(8正0反)=11正3反
0正14反
另外貌似【⑥9翻4】、【⑨19翻8】是无解的，因为无论翻多少次都是奇正偶负，永远不能达成0正。。。

最后一题有点骚，本来直觉以为要设计成通过12正12反的对称路线，然而不对称的路线反而能节省两步。。。
⑩24翻19
24正0反
5正19反
(0正5反)(14正5反)=14正10反
(4正10反)(9正1反)=13正11反
(2正11反)(8正3反)=10正14反
(5正5反)(14正0反)=19正5反
0正24反

对于这个问题，我构造的通解大致是这样的：
首先定义，总共y枚，每次翻x枚（y＞x）（之前说x翻y，感觉很别扭，所以换一下）。
接着，考虑无解的情况：y奇x偶必无解，因为此情况下怎么翻都是奇正偶反。
之后，将剩下的情况分类讨论：
一、y=kx
直接翻。
次数为k。
二、y=x+b（b＜x）
（1）b为偶数
类似7翻5。1.先翻x枚；2.翻b/2枚正面，x-b/2枚反面；3.此时必可一步完成。
次数为3。
（2）b为奇数
这是最麻烦的情况，我构造了一种特殊解法（该解法可能可以推广到其他情况，不过在我构造这个解法前，其他情况已经解决了，我就没去再多想）。
记(n,m)为m枚正面、n枚反面，则硬币情况肯定在(偶,偶)与(奇,奇)间反复横跳。
第1步，(0,y)→(x,b)。
此后，(奇,奇)→(偶,偶)时，只选择(b+1,x-1)、(b+3,x-3)、…、(x-1,b+1)中的一种，且反面数量要尽可能多；
(偶,偶)→(奇,奇)时，只选择(b,x)、(b+2,x-2)、…、(x,b)中的一种，且正面要尽可能多。
最终，肯定会到达(b,x)。
于是，最后一步，(b,x)→（y,0）。
次数为2⌈y/2b⌉，其中⌈⌉为向上取整。
三、y=kx+b（k＞1，b＜x）
（1）x+b为偶数
先翻k-1次，每次翻x枚正面。此后将情况二（1）解法中的b改为x+b即可。
次数为k+1。
（2）x+b为偶数
先翻k次，每次翻x枚正面。此后直接用情况二（1）解法。
次数为k+2。
可以证明，每一种方法的次数都是最低的。因为想起来不难，但写起来太费事，就不写了

假设已经翻反面n个，再翻面时，将其中m个翻会正面，则总翻反面为n+x-2m，既变化数为x-2m。
明显，当x为偶数，则必然不能翻出奇数，而当x为奇数，则可以翻出偶数和奇数
记总y个，每次翻x个，且y＞x
有y=kx+x-a，a＜x
当a是偶数，则k+1次既可，先翻1次x个，第2次将a/2反翻回正，则是反x+x-a个，后面继续翻k-1次
当a是奇数，此时考虑-x+a是否是偶数
是偶数时，x为奇数，同上
y=kx+x-（-x+a），次数为k+2次
不是偶数时，x是偶数，则无法做到

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假设总y个，每次翻x，有两模型
①，y=kx-2a
②，y=kx-（2a+1）
且两模型中分别x＞2a或x大于2a+1
（模型①中，a=0，直接翻k次既可。）
对于①，k≥3时，第一次翻x反，第二次将x反中的a翻成正，在翻x-a正为反，此时有2k-2a反，剩余（k-2）x正，故一共k次即可
当是2k-2a时。
先一个推论i
第一次翻x反，剩余b正。那么第二次可以将x全翻回正或x反中逐步少翻一个回正，但x反必然至少要翻x-b个回正。既第二次结束时正为x+b-2c，且正最少为x-b。
所以当是2x-2a时，由推论i，第二次结束时有正2x-2a-2c。
当x是偶数，必然可以找到c满足x=2a+2c。此时第三次既可以符合要求。
当x是奇数，则可以保证第二次后有2a正，此时有反2x-4a。当2x-4a＞x时，第三次结束套用推论i既可，可以保证第三结束剩余x正。当2x-4a＜x时，将2x-4a全部翻回正或将2a全部翻成反，两种办法可以保证剩余正的数值取值范围在2x和0之间，且必然存在大于x或小于x的取值，既可以保证出现剩余x个正的情况。此时第四次可以做到。
对于②，由奇偶性判断可知，x是奇数才有解。有解时，根据y和k的奇偶性关系，可知，k次必不可能，至少需要k+1次。
当x是奇数，同样，当k≥3时，第二次将（x+（2a+1））/2反翻成正，则第二次后，反有x-2（2a+1），剩（k-1）x正，故一共k+1次既可。
当是2x-（2a+1）时，同样由推论i，第二次结束时有2x-（2a+1）-2c正，且最少有2a+1＜x个正，明显，当c=（x-（2a+1））/2时，剩余x正，此时第三次既可。

直觉告诉我内鬼是10翻4，因为这两个数字不互素、、、

好吧，我的直觉错了，奇翻奇，偶翻偶，偶翻奇都必然有解，奇翻偶必然无解、、、