考虑数列0.9，0.99，0.999，……
An=1-10^(-n)
∀ε>0，∃正整数N，n>N时|1-An|<ε。
假设1-0.999...>0，我们取ε=1-0.999...
|1-An|=1-An<ε
⇔10^(-n)<1-0.999...
⇔n>-lg(1-0.999...)
接下来，奇迹出现了。
已知An=1-10^(-n)，ε=1-0.999...
那么对于满足条件的n，An>1-ε=0.999...
即0.999...9(n个9)>0.999...（无限小数）！！
到这里就明显矛盾了，要是不服，两边减一下，0>0.000...0999...，右边正数，矛盾。