数学归纳就行

假想质量为M(其实就是面积)，令m为其每个点的质量示性数(密度)，用积分的思想得到M=2πSm，再假想有很多重心(等价)对应于所有格点，一个内部重心幅射出2πm，所有角格点共(n－2)πm，一个边界非角重心为πm，总和为M=(2a+(b－2))πm=2πSm，得到a+b/2－1=S，就完成了一个不严格证明

首先，考虑一种“基本元素”——一个m×n格范围内的的直角三角形，其中m、n互质或有一个为1。对于这种三角形，可以直接求出其面积为mn/2，即m×n矩形的一半。
这个矩形可以看成由前者和另一个全等的三角形组成，每个三角形直角边上的点数为(m+n+1)，斜边上除了顶点没有其他点，而矩形内部的(m-1)(n-1)个点被两个三角形平分（因为m和n有一个为1时，内部点数为0；m、n互质，则(m-1)和(n-1)至少有一个是偶数，因此(m-1)(n-1)一定为偶数）。
因此，一个三角形内部有P=(m-1)(n-1)/2个点，边上有Q=(m+n+1)个点，代入求证式有P+Q-1=(m-1)(n-1)/2+(m+n+1)/2-1=mn/2，因而这种元素的面积符合公式关系。
然后考虑组合的情况，设两个图形分别为A、B。为了让二者连接，A、B至少要有两对边点重合（如果只有一对，那么就只能叫相接了）。这些边点一对对结合后，要么成为内部点，要么还是边点；而且有且仅有一对还是边点，如果超过一对会形成孔洞。根据前面的结论，Sa=Pa+Qa/2-1，Sb=Pb+Qb/2-1，Sab=Sa+Sb；设重合点对的数量为k，那么内部点增加了(k-2)个，边点减少了2k-2个，因此有Pab=Pa+Pb+k-2，Qab=Qa+Qb+2-2k，代入得Sab=Pab+Qab/2-1=Pab=Pa+Pb+k-2+(Qa+Qb+2-2k)/2-1=Pa+Qa/2-1+Pb+Qb/2-1=Sa+Sb，符合要求。
证明完加合的情况，再证明减去（挖掉）的情况。A减去B时，B的内部点一定也是A的内部点，而B的边点是A的内部点或者同为A的边点。必然存在同为边点的点，而且有且仅有两对点形成新的边点，其余的点消失，否则也会形成孔洞。设重合的边点对数为k，那么减去后的图形，其边点数为Qab=Qa+Qb-2k+2，内部点数Pab=Pa-Pb-Qb+k。这样Sab=Pab+Qab/2-1=Pa-Pb-Qb+k+(Qa+Qb-2k+2)/2-1=Pa-Pb+(Qa-Qb)/2-1，同样符合要求。
由此可得，任何连续的无孔洞的图形X，其面积都可以通过上述方法分解成若干“基本元素”加减得到的结果，均可由S=P+Q/2-1算出。

显然可以把n边形分割为n－2个顶点在格点且边上没有格点的三角形，然后补成矩形算面积，并对格点计数，然后归纳法即可算出原来的图形的面积