［技巧］利用代数思路解答尺规作图题的例题

基础、标答方法（虚线为证明此做法的辅助线，若题目不要求写出作法并说明，则可以不画）：
过M作BM⊥AM，交AN于点B，作∠ABM的角平分线，交AM于点P，点P即为所求
原理：过P作PC⊥AN，由于PB平分∠ABM，∠AMB=90°，角平分线上的点到角两边的距离相等，故PM=PC，满足题目要求“P到AN的距离等于线段PM的长度”，命题得证.

将尺规转化为代数的方法：
先画出草图，大致标记P点位置进行推算，不妨计算PM的长度与已知线段的关系，再通过这个代数式的构成，思考将代数式“翻译”成尺规作图的方法.
由于P到AN的距离等于PM的长度，所以过P作PC⊥AN，交AN于点C.此时不难想到，我们可以构造一个A字型直角三角形相似，所以我们过M作MB⊥AN，交AN于点B.
不难发现，BM、AM为已知量，PM(=PC)和PA为未知量，我们不妨设BM=h，PM=PC=n，AM=m，故现在，问题转化为“用含m、h的代数式表示n”，此问题的解答不难，如下所示：
由题，AP=m-n，
∵△ACP∽△ABM，
∴AP/AM=PC/BM，
即 (m-n)/n=n/h，
交叉相乘得：mh-nh=mn，
将含n的项移到等号左边，得：mn+nh=mh，
等号左边的多项式提取出公因式n，得：n(m+h)=mh
将(m+h)项除到等式右边，得到n关于m、h的代数式为n=mh/(m+h).

现在，我们得到了n与m、h的关系为n=mh/(m+h)，那么怎么将此关系式用尺规“翻译”到纸面上呢？
观察mh/(m+h)的分子部分，我们知道平行四边形面积的计算式为底×高，假设此代数式的分母（m+h)为面积为mh的平行四边形的底的长度，那么n=mh/(m+h)的几何意义可概述为：面积为mh，底边长度为(m+h)的平行四边形的高的长度为n.
我们都知道，同一对平行线间的距离处处相等，也就是说同底时，同一对平行线间的平行四边形的面积也是处处相等的，所以第一步，先作出一条直线l，使得l到m(AM)的距离为h（过A作AC⊥AM，在所作垂线上截AC=BM（即=h），再过C作AM的平行线l，此时，以AM为底，AM与l之间的平行四边形面积都是mn，mh/(m+h)的分子已画出.
我们想要用底“截”面积，得到高，底最好要在AM的一个端点截，所以就近在AM上截取DM=BM，此时，AD=m+h，就能把(m+h)当整体操作了我们此时以线段AM的A端点为圆心，在l上截一点E，使AE为m+h，作辅助线MG∥AE，交l于G，此时我们便构造出了刚刚说的“面积为mn，底边长为m+n的平行四边形AEGM，那么根据n=mh/(m+h)，AE边的高即为n，为了卷面简洁，不杂乱，所以不直接全画出整个平四，而可以反向延长AE，过M作MF⊥AE，交AE于点F，则MF的长度即为n，所以最后，在AM上截取PM=MF，点P即为所求.

小练：已知线段AB，求作Rt△CDE，使其周长为AB

好，我顶