用精确版的Stirring公式立刻得到左边≥ln(sqrt(2π))＞5/6

利用这个帕德放缩即可

当n≥2时，在y=ln x的x=2, 3, …, n处作切线，分别与x=3/2, x=5/2, …, x=n-3/2, x=n-1/2, x=n中相邻两条相交，形成(n-1)个直角梯形
其中前(n-2)个的高为1，最后一个高为1/2 (高平行于x轴)
由y=ln x的凹凸性，可以把lnx从3/2到n的定积分放大到(n-1)个直角梯形之和
前者等于nln n - n - 3/2ln(3/2) + 3/2，后者等于 ln2+…+ln(n-1) + [ln n + ln(n-1/2)]/4 < ln n! - (ln n) /2
所以 ln n! - (ln n) /2 ≥ nln n - n - 3/2ln(3/2)+ 3/2 ＞ nlnn - n + 5/6
则n≥2时 ln n! ＞ (n+1/2)ln n - n + 5/6