h定理让5000年都无人能识的“更无理”自然数一下子暴露出来推翻百年集论
黄小宁
设集A=｛x｝表示A是元为x的集合，其余类推。
h定理1（见文献【1】中的h定理4）：元不少于两个的点集A=｛x｝（B=｛y｝）任两异元x与x+△x（y与y+△y）之间的距离是|△x|（|△y|），若A≌B则|△x|=|△y|即|△y|与|△x|是同一距离变量。
证：若A≌B则B各元y必可是由A各元x保距变为y=y（x）而变来的。A各元x保距变为y=y（x）生成元为y的B=｛y｝≌A，距离|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|即|△y|与|△x|是同一变量。证毕。
设本文各数是数轴上点的坐标。将与n∈N最近的自然数k称为与n相邻的自然数，k是n的“邻居”。A={x}={0，1}任两异元的距离|△x|只能取一个数：1。B={x}={0，1，2}中相邻（不相邻）的两数之间的距离|△x|=1（=2）。这说明B任两异元的距离|△x|(x的变域是B) 只能取两个数：1与2。可见|△x|的变域是随着x的变域的不同而不同的。变域不同的两|△x|不是同一距离变量。
h定理2：无穷点集W=｛x｝（可以复变数z替换x）的任何非空真子集V⊂W都不可≌W，换言之凡≌W的集都不是W的任何真子集。
证：V=｛x｝⊂W任两异元的距离|△x|中的x的变域是V⊂W而W=｛x｝任两异元的距离|△x|中的x的变域W≠V⊂W，∴这两|△x|是变域不同的变量。据h定理1W不≌V。证毕。
自然数公理使初数一直有“常识”：N各元n的对应n+1均∈N。点集N各元点n（n是点的坐标）的保距对应点y=n+1>n的全体H=｛1，2，3，…，y=n+1，…｝≌N。据h定理2H≌N不是N的任何真子集，H=｛y=n+1｝不能被N包含说明H必至少有一元y=y0（0是下标）=n0+1>n0∈N在N外，式中n0=Ω显然是N最大元，因其后继y0=Ω+1在N外。所以H∪｛0｝是似是而非的假N。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数。自有自然数概念后的5000年里一直无人能知有无穷大自然数Ω（与0相隔无穷多个自然数∈N）使初数一直将N外自然数误为N内数从而将根本不是N的真子集误为其真子集。发现Ω说明N的任何真子集的元都必少于N的元。
参考文献
[1] 黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。
[2]黄小宁。中学数学重大错误:将N外自然数误为N内数[J]. 当代教育实践与教学研究（电子刊）,2024(6)。
黄小宁
设集A=｛x｝表示A是元为x的集合，其余类推。
h定理1（见文献【1】中的h定理4）：元不少于两个的点集A=｛x｝（B=｛y｝）任两异元x与x+△x（y与y+△y）之间的距离是|△x|（|△y|），若A≌B则|△x|=|△y|即|△y|与|△x|是同一距离变量。
证：若A≌B则B各元y必可是由A各元x保距变为y=y（x）而变来的。A各元x保距变为y=y（x）生成元为y的B=｛y｝≌A，距离|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|即|△y|与|△x|是同一变量。证毕。
设本文各数是数轴上点的坐标。将与n∈N最近的自然数k称为与n相邻的自然数，k是n的“邻居”。A={x}={0，1}任两异元的距离|△x|只能取一个数：1。B={x}={0，1，2}中相邻（不相邻）的两数之间的距离|△x|=1（=2）。这说明B任两异元的距离|△x|(x的变域是B) 只能取两个数：1与2。可见|△x|的变域是随着x的变域的不同而不同的。变域不同的两|△x|不是同一距离变量。
h定理2：无穷点集W=｛x｝（可以复变数z替换x）的任何非空真子集V⊂W都不可≌W，换言之凡≌W的集都不是W的任何真子集。
证：V=｛x｝⊂W任两异元的距离|△x|中的x的变域是V⊂W而W=｛x｝任两异元的距离|△x|中的x的变域W≠V⊂W，∴这两|△x|是变域不同的变量。据h定理1W不≌V。证毕。
自然数公理使初数一直有“常识”：N各元n的对应n+1均∈N。点集N各元点n（n是点的坐标）的保距对应点y=n+1>n的全体H=｛1，2，3，…，y=n+1，…｝≌N。据h定理2H≌N不是N的任何真子集，H=｛y=n+1｝不能被N包含说明H必至少有一元y=y0（0是下标）=n0+1>n0∈N在N外，式中n0=Ω显然是N最大元，因其后继y0=Ω+1在N外。所以H∪｛0｝是似是而非的假N。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数。自有自然数概念后的5000年里一直无人能知有无穷大自然数Ω（与0相隔无穷多个自然数∈N）使初数一直将N外自然数误为N内数从而将根本不是N的真子集误为其真子集。发现Ω说明N的任何真子集的元都必少于N的元。
参考文献
[1] 黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。
[2]黄小宁。中学数学重大错误:将N外自然数误为N内数[J]. 当代教育实践与教学研究（电子刊）,2024(6)。
