如果k | b-aⁿ, 那当a'≡a(mod k)时k | b-a'ⁿ也成立, 所以a总可以取到正整数
再按照条件对任意正整数k, 总存在使k | b-aⁿ的正整数a, 所以当k=b²时也成立, 这样b-aⁿ=ck=cb², aⁿ=b(1-cb), 因为aⁿ是正整数,b也是正整数,所以1-cb也是正整数, 而且b与1-cb一定互素, 所以按照算术基本定理b和1-cb都是正整数的n次幂

或者也可以不考虑正负, b>1, 所以b和1-cb都是非零整数
它们乘积是整数的n次幂且互素, 所以当n是奇数时, b与1-cb一定都是整数的n次幂, 而当n是偶数时, 因为aⁿ≥0且aⁿ=b(1-cb)≠0, b>0, 所以1-cb一定也是正数
这里取的是k=b², 取正整数k为b²的倍数也可以用同样的方法得到结论, 这样只是其中一种做法, 已经足够证明这题的结论了, 说明题目条件给的比结论强, 不代表证明有缺陷需要检验