1. **V₀：空集**
宇宙的起点是空集（V₀ = ∅），象征着纯粹的潜在性。空集是宇宙中最基础的集合，是所有其他集合的起点。
2. **Vₙ₊₁：幂集的累积**
对于每一个层级 Vₙ，下一层级 Vₙ₊₁ 是 Vₙ 的幂集（Vₙ₊₁ = 𝒫(Vₙ)）。这意味着每一层都包含了上一层的所有子集。例如：
- V₁ = 𝒫(∅) = {∅}
- V₂ = 𝒫({∅}) = {∅, {∅}}
- V₃ = 𝒫({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}
3. **V_ω：无限层级的起点**
当层级达到无限时，V_ω 是所有有限层级的并集（V_ω = ⋃ₖ Vₖ）。这是宇宙的第一个无限层级，包含了所有有限集合。
4. **V_α：超限层级**
对于任意序数 α，V_α 是所有小于 α 的层级的并集（V_α = ⋃ₖ<α Vₖ）。通过超限递归，宇宙的层级可以无限扩展。例如：
- V_ω₊₁ = 𝒫(V_ω)
- V_ω₊₂ = 𝒫(V_ω₊₁)
- V_ω₂ = ⋃ₖ<ω₂ Vₖ（其中 ω₂ 是第二个不可数序数）
5. **V：冯诺依曼宇宙**
冯诺依曼宇宙是所有层级的并集（V = ⋃ₖ Vₖ），它包含了宇宙中的所有集合。
### **不可达基数：宇宙的第一个极限点**
不可达基数是 ZFC 宇宙中的“极限点”，它们无法通过幂集和替换公理从下方达到。不可达基数的存在标志着宇宙的一个新层次。
1. **定义**
一个基数 κ 是不可达基数，当且仅当：
- κ 是正则基数（无法通过小于 κ 的基数的并集达到）。
- κ 是强极限基数（对于任意 λ < κ，2^λ < κ）。
2. **性质**
- 不可达基数是 ZFC 宇宙中的一个“屏障”，它们的存在意味着宇宙的层次结构更加复杂。
- 冯诺依曼宇宙的层级 V_κ 在 κ 是不可达基数时，构成了一个 ZFC 宇宙的模型。
3. **意义**
不可达基数是宇宙中的一个重要层次，它们的存在使得宇宙的层次结构更加丰富。
### **马洛基数：不可达基数的进一步扩展**
马洛基数是不可达基数的进一步扩展，它们的存在意味着宇宙中有更多的不可达基数。
1. **定义**
一个基数 κ 是马洛基数，当且仅当：
- κ 是不可达基数。
- 在 κ 下方存在一个不可达基数的闭无界集。
2. **性质**
- 马洛基数是不可达基数的进一步扩展，它们的存在使得宇宙的层次结构更加丰富。
- 马洛基数的存在意味着宇宙中有更多的不可达基数。
3. **意义**
马洛基数是宇宙的更高层次，它们的存在使得宇宙的层次结构更加复杂。
### **弱紧致基数：逻辑上的强无限性**
弱紧致基数是逻辑上的强无限性，它们的存在使得宇宙的逻辑结构更加复杂。
1. **定义**
一个基数 κ 是弱紧致基数，当且仅当：
- κ 是不可达基数。
- 对于任意 κ-完全滤子，存在一个 κ-完全超滤。
2. **性质**
- 弱紧致基数是逻辑上的强无限性，它们的存在使得宇宙的逻辑结构更加复杂。
- 弱紧致基数的存在意味着宇宙中有更强的逻辑结构。
3. **意义**
弱紧致基数是宇宙中的一个重要层次，它们的存在使得宇宙的逻辑结构更加丰富
### **可测基数：集合论中的重要概念**
可测基数是集合论中的一个重要概念，它们的存在意味着宇宙中有更强大的无限性。
1. **定义**
一个基数 κ 是可测基数，当且仅当：
- 存在一个 κ-完全的非主超滤。
2. **性质**
- 可测基数是集合论中的一个重要概念，它们的存在意味着宇宙中有更强大的无限性。
- 可测基数的存在意味着宇宙中有更强的逻辑结构。
3. **意义**
可测基数是宇宙中的一个重要层次，它们的存在使得宇宙的层次结构更加丰富
### **超紧致基数：
超紧致基数，它们的存在使得宇宙的层次结构更加丰富
1. **定义**
一个基数 κ 是超紧致基数，当且仅当：
- 对于任意 λ ≥ κ，存在一个 κ-完全的超滤
2. **性质**
- 超紧致基数是宇宙中的“巨人”，它们的存在使得宇宙的层次结构更加丰富。
- 超紧致基数的存在意味着宇宙中有更强的逻辑结
3. **意义**
超紧致基数是宇宙中的一个重要层次，它们的存在使得宇宙的层次结构更加复杂。