发条精巧不等式

好像可以证明, 当|A|≥2时, |A|²+3|A|-1≥4|S|-|D|≥|A|²+|A|+3, 如果没错的话, 后面一半就足够证明 |S|²≥|A|*|D|了

设|A|=k, 当k≥2时, 将A中的实数由小到大排列为 a₁<a₂<…<a[k], 令集合
U₁={(i,j) | 1≤i<j≤k, 存在1≤s<r≤k使得a[j]-a[i] = a[r]-a[s]且s<i,r<i}
U₂={(i,j) | 1≤i<j≤k, 存在1≤s<r≤k使得a[j]-a[i] = a[r]-a[s]且s<i,r>i}
U₃={(i,j) | 1≤i<j≤k, 存在1≤s<i使得a[j]-a[i]=a[i]-a[s]}
T₁={(i,j) | 1≤i<j≤k, 存在1≤s<r≤k使得a[i]+a[j] = a[s]+a[r]且s<i}
T₂={i | 1≤i≤k, 存在1≤s<r≤k使得2a[i]=a[s]+a[r]}
通过建立映射可以推出 |U₁|=|U₂|=|T₁|, |U₃|=|T₂|
设D中所有正实数组成的集合为D', 则|D|=2|D'|+1= 1+2[k(k-1)/2-|U₁|-|U₂|-|U₃|] = k²-k+1-4|T₁|-2|T₂|
另外还可以得到 |S|= k(k+1)/2 -|T₁|-|T₂|
所以 k²-k+1-|D| = 4(|T₁|+|T₂|)-2|T₂| = 2k²+2k-4|S|-2|T₂|
也就是 2|T₂| = |D|-4|S|+k²+3k-1
当k≥2时, T₂中的下标总满足1<i<k, 所以0≤|T₂|≤k-2
可得 0≤|D|-4|S|+k²+3k-1≤2k-4
所以k²+k+3≤4|S|-|D|≤k²+3k-1

标答也是映射