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可以用勒让德公式加强结论, 证明以下不等式对任意正整数n,k都成立
[1/k]+[4/k]+[7/k]+…+[(3n-2)/k]≥[n/k]+[(n+1)/k]+[(n+2)/k]…+[(2n-1)/k]
如果这个不等式成立, 对每个素数p, 按照勒让德公式, ordp(An分子)总是不小于ordp(An分母), 那An就一定是整数
然后再分别证明, 对任意正整数n,k, 都有
(1) 3([1/k]+[4/k]+…+[(3n-2)/k])≥[0/k]+[1/k]+[2/k]+…+[(3n-1)/k] -1
当且仅当[3n/k]≡1(mod 3)且k≡-1(mod 3)时等号成立
(2) [0/k]+[1/k]+[2/k]+…+[(3n-1)/k]≥3([n/k]+[(n+1)/k]+[(n+2)/k]…+[(2n-1)/k])
并且当[3n/k]≡1(mod 3)时, 左-右≥1
合在一起就可以证明加强的不等式了,应该是对的

(1)可以先证明引理: 对任意实数x, y
当{x}<min({y},1-{y})时, [x+y]+[x-y]-2[x]=-1
当min({y},1-{y})≤{x}<max({y},1-{y})时, [x+y]+[x-y]-2[x]= 0
当{x}≥max({y},1-{y})时, [x+y]+[x-y]-2[x]=1
只要按每种情况分类讨论就可以证明
然后当m为正整数,k为大于1的整数时, 取y=1/k, x=m/k, 按照引理可得
{x}<min({y},1-{y})当且仅当{x}=0, 也就是k整除m
{x}≥max({y},1-{y})当且仅当{x}=(k-1)/k, 也就是k整除m+1
所以3([1/k]+[4/k]+…+[(3n-2)/k])-([0/k]+[1/k]+[2/k]+…+[(3n-1)/k])
=∑( 2[(3i-2)/k]- [(3i-3)/k]-[(3i-1)/k] ) (0≤i≤n)
= 1*{1,4,7,…,3n-2}中被k整除的数的个数 + (-1)*{2,5,8,…,3n-1}中被k整除的数的个数
设集合A={1,4,7,…,3n-2}, B={2,5,8,…,3n-1}, A,B中被k整除的数的个数分别记为h₁,h₂
当3|k时, A,B集合中都没有被k整除的数, 所以h₁-h₂=0
当k≠0(mod 3)时, A,B中被k整除的数组成的集合是C={n | n=rk, 1≤r≤3n/k且r与3互素}
若[3n/k]≡-1或0(mod 3), 不超过[3n/k]的正整数中模3余1与模3余2的正整数的个数相等, 所以C中模3余1与模3余2的数个数相等, 则h₁-h₂=0
若[3n/k]≡1(mod 3), 不超过[3n/k]的正整数中模3余1的正整数比模3余2的正整数多一个, 所以C中模3与k同余的正整数, 比模3与-k同余的正整数多一个, 因此k≡1(mod 3)时h₁-h₂=1, k≡-1(mod 3)时h₁-h₂=1
另外当k=1时式子两边也相等, 综上所述可知, 对任意正整数n,k
当[3n/k]≠1(mod 3)时, 3([1/k]+[4/k]+…+[(3n-2)/k])-([0/k]+[1/k]+[2/k]+…+[(3n-1)/k]) = 0
当[3n/k]≡1(mod 3)时, 3([1/k]+[4/k]+…+[(3n-2)/k])-([0/k]+[1/k]+[2/k]+…+[(3n-1)/k]) = (k|3)

(2)对正整数n,k, 如果设n除以k的最小非负余数为r, u=min{r,k-r}, v=max{r,k-r}=k-u,
集合S₁={m | m除以k的最小非负余数小于u}
集合S₂={m | m除以k的最小非负余数不小于v}, S=S₁∪S₂
对整数a≤b, 用[a,b]表示集合{x|a≤x≤b} (和闭区间有区别, 只是方便写), 设S₁,S₂与[a,b]的交集分别为s₁[a,b],s₂[a,b]
以下说明若a不属于S,或者a除以k的最小非负余数等于v
则当b不属于S, 或b除以k的最小非负余数等于u-1时|s₂[a,b]|=|s₁[a,b]|
当b属于S且b除以k的最小非负余数不等于u-1时|s₂[a,b]|≥|s₁[a,b]|+1
(当u=0时S是空集, 当u≥1时将S分成一组无穷多个连续整数集合s(t)= {m∈Z|tk+v≤m≤tk+k+u-1}(t∈Z)的并集, 对a,b大小分类讨论, 证明每个子集与[a,b]的交集中, 属于S₂的元素个数不少于属于S₁的元素个数
并且当b属于S且b除以k的最小非负余数不等于u-1时, 存在某个子集(b所在的子集)使其与[a,b]的交集中, 属于S₂的元素个数多于属于S₁的元素个数)
当a=n,b=2n-1时, 记T₁=s₁[n,2n-1], T₂=s₂[n,2n-1]
由于u≤r≤v, 即n不属于S或者n除以k的最小非负余数r等于v, 所以|T₂|≥|T₁|总成立
并且当[3n/k]≡1(mod 3)时, 1≤3{n/k}<2, 可得k/3≤r<2k/3, 并且k≥2
设2n-1除以k的余数为r', 当k=2时由条件r=1, r'=1, u=v=1, 则2n-1属于S且除以k的最小非负余数不等于u-1, 可知|T₂|≥|T₁|+1
当k≥3时由r≥k/3可知r≥1
若1≤r<k/2,则u=r, v=k-r≤2k/3, 且r'=2r≥2k/3, r'>r-1, 所以2n-1属于S且除以k的最小非负余数不等于u-1, 可知|T₂|≥|T₁|+1
若k/2≤r≤k-1, 则v=r, u=k-r>k/3, 且r'=2r-k<k/3, r'<r-1 (用到k≥3), 所以2n-1属于S且除以k的最小非负余数不等于u-1, 可知|T₂|≥|T₁|+1
最后由引理可得([0/k]+[1/k]+[2/k]+…+[(3n-1)/k]) - 3([n/k]+[(n+1)/k]+[(n+2)/k]+…+[(2n-1)/k])
= ∑( 2[(n+i)/k]-[n/k]-[(n+2i)/k] ) (0≤i≤n-1)
= (-1)*|T₁|+1*|T₂|
= |T₂|-|T₁|
所以对任意正整数n,k
总有([0/k]+[1/k]+[2/k]+…+[(3n-1)/k]) - 3([n/k]+[(n+1)/k]+[(n+2)/k]+…+[(2n-1)/k])≥0
并且若[3n/k]≡1(mod 3), 则
([0/k]+[1/k]+[2/k]+…+[(3n-1)/k]) - 3([n/k]+[(n+1)/k]+[(n+2)/k]+…+[(2n-1)/k])≥1