没读懂你疑惑的点，不妨再具体描述一下。

取一个一般的行列式，叫A。
将A的第i行替换为A的第j行，得到一个行列式B，显然B＝0，因为两行向量相同。
那么，考虑用A的第i行元素分别乘第j行的余子式，并求和。
你会发现，这个求和式，跟，你对B的第j行展开的式子一毛一样，而B＝0，展开还是0。
证明思路就是: 对A用不同行的余子式展开，等同于，对一个值等于0的行列式展开。

还有个问题，求和换指标，j应该从2到n，但是这里老师写的是从1到n，为什么