1965年, 美国数学家N.J.Fine在一篇简短的文章The distribution of the sum of digits(mod p)中回答了S.Ulam提出的一个问题: 不超过x,并且使得在十进制下s(n)≡n≡0(mod 13)的正整数n的个数N(x),是否满足lim N(x)/x = 1/13^2 (x→∞) ?
Fine证明了答案是肯定的, 并且可以将十进制换为任意的b进制(b>1),13换成任意不整除b-1的素数p, n与s(n)所在的剩余类由0(mod p)换为任意的a(mod p)与c(mod p), 结论lim N(x)/x = 1/p^2 (x→∞)仍然成立.
苏联数学家A.O.Gelfond注意到了这一结论, 并于1968年在论文Sur les nombres qui ont des propriétés additives et multiplicatives données中将Fine证明的定理推广为下图中的一般形式.
实际上Fine的论文中也对m=p为素数时的情形证明了与Gelfond定理形式相似的结论,给出了常数0<λ<1的构造, 并且指出同样可以证明m与p不相同的情形,不过Fine的证明依赖m与p为素数的条件.
论文链接(open access):
[1] N.J.Fine,The distribution of the sum of digits(mod p),Bull.Amer.Math.Soc.71(Jul 1965),651-652.
https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society-new-series/volume-71/issue-4/The-distribution-of-the-sum-of-digits-left-bmod-p/bams/1183527239.full
[2] A.O.Gel'fond,Sur les nombres qui ont des propriétés additives et multiplicatives données, Acta Arith.13 (1967/1968),259-265.
https://www.semanticscholar.org/paper/Sur-les-nombres-qui-ont-des-propri%C3%A9t%C3%A9s-additives-et-Gelfond/99097f5e756a43c9fbb8c619bb57315dddf57997
Fine证明了答案是肯定的, 并且可以将十进制换为任意的b进制(b>1),13换成任意不整除b-1的素数p, n与s(n)所在的剩余类由0(mod p)换为任意的a(mod p)与c(mod p), 结论lim N(x)/x = 1/p^2 (x→∞)仍然成立.
苏联数学家A.O.Gelfond注意到了这一结论, 并于1968年在论文Sur les nombres qui ont des propriétés additives et multiplicatives données中将Fine证明的定理推广为下图中的一般形式.
实际上Fine的论文中也对m=p为素数时的情形证明了与Gelfond定理形式相似的结论,给出了常数0<λ<1的构造, 并且指出同样可以证明m与p不相同的情形,不过Fine的证明依赖m与p为素数的条件.
论文链接(open access):
[1] N.J.Fine,The distribution of the sum of digits(mod p),Bull.Amer.Math.Soc.71(Jul 1965),651-652.
https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society-new-series/volume-71/issue-4/The-distribution-of-the-sum-of-digits-left-bmod-p/bams/1183527239.full
[2] A.O.Gel'fond,Sur les nombres qui ont des propriétés additives et multiplicatives données, Acta Arith.13 (1967/1968),259-265.
https://www.semanticscholar.org/paper/Sur-les-nombres-qui-ont-des-propri%C3%A9t%C3%A9s-additives-et-Gelfond/99097f5e756a43c9fbb8c619bb57315dddf57997
