——25届世界哲学大会入选论文
摘要：
思维不能认识无限，所以它无法提供极限论的基础，数学无法讨论无限，也不是普遍必然。
但是纯数学与应用数学真的可以割裂、毫无关联吗？一个社会可以同时实行两套相互矛盾的法律吗？
数不是先天的，也不是实在的。数学是认识者“思维”为了认识世界而设立的，它不能随意虚构。
数学很不幸，既要服从逻辑的规则，又肩负统计经验的使命，于是就不可避免的成为逻辑与对象世界的战场，成了矛盾的发生地。我认为逻辑和世界都没有错，世界不是按照逻辑定做的。认识者用自我设定的逻辑规则去规范世界，必然产生矛盾。
任何数学问题只要其脱离经验的束缚都可以完全归结到逻辑。但世界不是按逻辑规则设计的，如果要使数学正确的统计世界，那么将数学的基础完全归结为逻辑是不可能的。
关键词：
逻辑、无限、先天、实在、经验
1.1思维不能认识“无限”。
亚里士多德认为只有潜能的无限，没有现实的无限。他认为没有现实的无限：“一个事物在某处，就意味着在空间里，在空间里就是某处。因为在某处就意味着或上或下，或前或后，或左或右，但其中每一个都是有限的。”①但又认为“如果说根本没有无限，显然许多说不通的结论就会因而产生，例如，时间就会有开始和终结，量也就不能分成更小的量，数也不会是无限的”②
“无限”是一个副词，副词只有在经验的范围内使用才有效。我认为他说的潜能的无限实际上是有限的，而现实的无限是思维不能认识的。因为经验是有限的，而我们所能想象的无限其实都是有限的，真正的无限只可能存在于经验以外，我不能断定任何事物是有限还是无限。亚里士多德似乎意识到了这一点，他说：“无限的涵义正好与平常大家理解的相反，不是‘此外全无’，而是‘此外全有’”③而“此外全有”实际上是有限的。
感觉的范围是有限的，而思维只能通过感觉去认识，因此思维得到的认识也是有限的，不管是基于时间上还是空间上。思维根本不能认识真正的“无限”，认识者思维没有权利讨论“无限”。
思维不能认识无限，所以它无法提供极限论的基础，以极限论为基础的现代数学怎么能达到普遍必然？
当然，在以新柏拉图主义者为代表的数学实在论者看来，数学不需要接受认识论的诘难！数学是实在的，如果实在都不是无限的，那么还有什么东西是无限的？实在论者以其先天性的信仰，不接受这种诘难！
还有一些新毕达哥拉斯主义者，他们认为数是世界的本体，这就更不需要接受这样的怀疑了，甚至不需要给逻辑留下位置。但是在信仰和理性之间，理性也有自己的位置，人是思考的生物，我们知道的一切都是我们认识得到的，下一节将对数学实在论提出质疑！
1.2数不是先天的，也不是实在的
“数”存在于哪里？“1”是什么？“2”是什么？世界上哪里可以找到数？数是存在于我们的思维之中，还是由外部的某些原因引起的？或者干脆是存在于外部世界呢？你可以在对象世界中找到直线吗？找到点吗？找到几何学描述的平面吗？例如圆周率的值就是一个数学上规定的无理数，它指示着经验世界的什么东西呢？没有，它只是思维设定的计算工具！
毕达哥拉斯把“数”看作是世界的本体。造成毕达哥拉斯错误的原因是，他没有将数和量分离开来。他显然没有区分“数”和“量”，数不是单位，而是统计单位的工具。如果“数”是独立存在的，那么数词就能独立做主语，但数词不能独立做主语。如果离开了经验，我们不能证明“1+1=2”这个命题是正确的，也无法证明“1+1≠3”。数学显然是思维为认识世界设定的计算工具！
1.3 纯数学与应用数学
《欧几里得几何原本》第一卷诸定义之间自相矛盾：
定义2 线只有长度而没有宽度
定义５面只有长度和宽度
定义６面的边缘是线
定义７平面是它上面的线一样平放着的面④
推理：线是由不同位置的点构成的，线没有宽度，点也不会有宽度，那么点的宽度为”０”。而线是有长度的，那么点也必然有长度，那么点的长度为任意自然数“Ａ”，那么点的代数方程式为：点＝０×Ａ，其结果为０，即使点还有高，其体积大小也必然为０。体积大小为０的点怎么能组成有长度的线呢。
推理：由定义６和定义７可以推知，面由线组成，当然也由点组成。既然点的数学性质为０，线也没有宽度，没有宽度的线怎么能组成面呢？即使可以组成面，那么面也没有厚度。所以欧几里得不能让平面有厚度，于是只能作出定义５。这样又产生悖论：
如果平面的厚度为零，那么这个平面就不能存在，因为没有“离开空间而存在的平面”。如果这个平面的厚度大于零，那么这个平面就是有体积的，那么它成了立方体，就不是平面了！
------很显然，一些数学家认为数学与经验无关，如果数学与经验无关，《几何原本》中的论述就没有任何错误。但是数学的实际用途却在于经验，数学如果不为经验服务，就没有任何使用价值了！
------还有一些更可爱的数学家，将纯数学和应用数学分裂开来。当他们为数学自圆其说时，就研究他们的纯数学；当他们需要应用数学时，又变成了经验主义者！希尔伯特区分了理想数学和构造数学，也就是纯数学和应用数学，实际上割裂了数学这个学科！
但是纯数学与应用数学真的可以割裂、毫无关联吗？一个社会可以同时实行两套相互矛盾的法律吗？
1.4 数学是认识者“思维”为了认识世界而设立的，它不能随意虚构。
如果数学仅仅是一种游戏的话并无大碍，但数学是认识者“思维”为了认识世界而设立的，它不能随意虚构，也不能完全背离经验搞纯数学。
数学很不幸，既要服从逻辑的规则，又肩负统计经验的使命，于是就不可避免的成为逻辑与对象世界的战场，成了矛盾的发生地。我认为逻辑和世界都没有错，世界不是按照逻辑定做的。认识者用自我设定的逻辑规则去规范世界，必然产生矛盾。著名数学家庞伽勒也认为：“数学的公理和公设，是因为其方便才被使用的假设。”但我反对极端的工具主义，思维设立任何工具都是为认识世界而设立的，不是盲目的假设。例如数学为什么设定1+1=2，而不是设定1+1=3。
数学并没有跳出逻辑的牢笼。归纳推理是通过一个集合中部分元素的判断，对这个集合中所有的元素做出判断，通过一个多称判断获得一个全称判断，而这个全称判断包含了对未知事物的预测。归纳推理不可能得出普遍必然的结论，所以数学选择了演绎推理。数学假设了那些包含无限、未知的公理，演绎出了整个数学大厦，必然和我们有限的经验发生矛盾！
任何数学问题只要其脱离经验的束缚都可以完全归结到逻辑。但世界不是按逻辑规则设计的，如果要使数学正确的统计世界，那么将数学的基础完全归结为逻辑是不可能的。不过思维设立数学的目的就是为了认识经验世界，而不是为了认识数学。我们不是需要作为逻辑的奴才的数学，而是需要一个适合统计经验世界的数学。虽然数学也有一些缺陷，但与语言的缺陷相比还是微不足道的，因为数学只统计事实，不指称价值。正因为如此，现代逻辑的表达方式走向数理化。
但是数学实在论者并不这样认为，他们认为数学与经验毫无关系，数学是纯粹的，像理想国中的理念一样！不完善的，只是现实世界中的数学关系。
还有数学本体论者，世界的本源就是数，不完善的是现实世界、理性、逻辑。
还有极端工具论者，他们认为数学只是一种游戏规则，可以随心所欲的设定！
注解：
① .亚里士多德《物理学》，84～85页，张竹明译，北京，商务印书馆，1982。
② .亚里士多德《物理学》，85页，张竹明译，北京，商务印书馆，1982。
③ 亚里士多德《物理学》87页，张竹明译，北京，商务印书馆，1982。
④ 欧几里得《几何原本》1页，兰纪正、朱恩宽译，西安，陕西科技出版社，2003。
摘要：
思维不能认识无限，所以它无法提供极限论的基础，数学无法讨论无限，也不是普遍必然。
但是纯数学与应用数学真的可以割裂、毫无关联吗？一个社会可以同时实行两套相互矛盾的法律吗？
数不是先天的，也不是实在的。数学是认识者“思维”为了认识世界而设立的，它不能随意虚构。
数学很不幸，既要服从逻辑的规则，又肩负统计经验的使命，于是就不可避免的成为逻辑与对象世界的战场，成了矛盾的发生地。我认为逻辑和世界都没有错，世界不是按照逻辑定做的。认识者用自我设定的逻辑规则去规范世界，必然产生矛盾。
任何数学问题只要其脱离经验的束缚都可以完全归结到逻辑。但世界不是按逻辑规则设计的，如果要使数学正确的统计世界，那么将数学的基础完全归结为逻辑是不可能的。
关键词：
逻辑、无限、先天、实在、经验
1.1思维不能认识“无限”。
亚里士多德认为只有潜能的无限，没有现实的无限。他认为没有现实的无限：“一个事物在某处，就意味着在空间里，在空间里就是某处。因为在某处就意味着或上或下，或前或后，或左或右，但其中每一个都是有限的。”①但又认为“如果说根本没有无限，显然许多说不通的结论就会因而产生，例如，时间就会有开始和终结，量也就不能分成更小的量，数也不会是无限的”②
“无限”是一个副词，副词只有在经验的范围内使用才有效。我认为他说的潜能的无限实际上是有限的，而现实的无限是思维不能认识的。因为经验是有限的，而我们所能想象的无限其实都是有限的，真正的无限只可能存在于经验以外，我不能断定任何事物是有限还是无限。亚里士多德似乎意识到了这一点，他说：“无限的涵义正好与平常大家理解的相反，不是‘此外全无’，而是‘此外全有’”③而“此外全有”实际上是有限的。
感觉的范围是有限的，而思维只能通过感觉去认识，因此思维得到的认识也是有限的，不管是基于时间上还是空间上。思维根本不能认识真正的“无限”，认识者思维没有权利讨论“无限”。
思维不能认识无限，所以它无法提供极限论的基础，以极限论为基础的现代数学怎么能达到普遍必然？
当然，在以新柏拉图主义者为代表的数学实在论者看来，数学不需要接受认识论的诘难！数学是实在的，如果实在都不是无限的，那么还有什么东西是无限的？实在论者以其先天性的信仰，不接受这种诘难！
还有一些新毕达哥拉斯主义者，他们认为数是世界的本体，这就更不需要接受这样的怀疑了，甚至不需要给逻辑留下位置。但是在信仰和理性之间，理性也有自己的位置，人是思考的生物，我们知道的一切都是我们认识得到的，下一节将对数学实在论提出质疑！
1.2数不是先天的，也不是实在的
“数”存在于哪里？“1”是什么？“2”是什么？世界上哪里可以找到数？数是存在于我们的思维之中，还是由外部的某些原因引起的？或者干脆是存在于外部世界呢？你可以在对象世界中找到直线吗？找到点吗？找到几何学描述的平面吗？例如圆周率的值就是一个数学上规定的无理数，它指示着经验世界的什么东西呢？没有，它只是思维设定的计算工具！
毕达哥拉斯把“数”看作是世界的本体。造成毕达哥拉斯错误的原因是，他没有将数和量分离开来。他显然没有区分“数”和“量”，数不是单位，而是统计单位的工具。如果“数”是独立存在的，那么数词就能独立做主语，但数词不能独立做主语。如果离开了经验，我们不能证明“1+1=2”这个命题是正确的，也无法证明“1+1≠3”。数学显然是思维为认识世界设定的计算工具！
1.3 纯数学与应用数学
《欧几里得几何原本》第一卷诸定义之间自相矛盾：
定义2 线只有长度而没有宽度
定义５面只有长度和宽度
定义６面的边缘是线
定义７平面是它上面的线一样平放着的面④
推理：线是由不同位置的点构成的，线没有宽度，点也不会有宽度，那么点的宽度为”０”。而线是有长度的，那么点也必然有长度，那么点的长度为任意自然数“Ａ”，那么点的代数方程式为：点＝０×Ａ，其结果为０，即使点还有高，其体积大小也必然为０。体积大小为０的点怎么能组成有长度的线呢。
推理：由定义６和定义７可以推知，面由线组成，当然也由点组成。既然点的数学性质为０，线也没有宽度，没有宽度的线怎么能组成面呢？即使可以组成面，那么面也没有厚度。所以欧几里得不能让平面有厚度，于是只能作出定义５。这样又产生悖论：
如果平面的厚度为零，那么这个平面就不能存在，因为没有“离开空间而存在的平面”。如果这个平面的厚度大于零，那么这个平面就是有体积的，那么它成了立方体，就不是平面了！
------很显然，一些数学家认为数学与经验无关，如果数学与经验无关，《几何原本》中的论述就没有任何错误。但是数学的实际用途却在于经验，数学如果不为经验服务，就没有任何使用价值了！
------还有一些更可爱的数学家，将纯数学和应用数学分裂开来。当他们为数学自圆其说时，就研究他们的纯数学；当他们需要应用数学时，又变成了经验主义者！希尔伯特区分了理想数学和构造数学，也就是纯数学和应用数学，实际上割裂了数学这个学科！
但是纯数学与应用数学真的可以割裂、毫无关联吗？一个社会可以同时实行两套相互矛盾的法律吗？
1.4 数学是认识者“思维”为了认识世界而设立的，它不能随意虚构。
如果数学仅仅是一种游戏的话并无大碍，但数学是认识者“思维”为了认识世界而设立的，它不能随意虚构，也不能完全背离经验搞纯数学。
数学很不幸，既要服从逻辑的规则，又肩负统计经验的使命，于是就不可避免的成为逻辑与对象世界的战场，成了矛盾的发生地。我认为逻辑和世界都没有错，世界不是按照逻辑定做的。认识者用自我设定的逻辑规则去规范世界，必然产生矛盾。著名数学家庞伽勒也认为：“数学的公理和公设，是因为其方便才被使用的假设。”但我反对极端的工具主义，思维设立任何工具都是为认识世界而设立的，不是盲目的假设。例如数学为什么设定1+1=2，而不是设定1+1=3。
数学并没有跳出逻辑的牢笼。归纳推理是通过一个集合中部分元素的判断，对这个集合中所有的元素做出判断，通过一个多称判断获得一个全称判断，而这个全称判断包含了对未知事物的预测。归纳推理不可能得出普遍必然的结论，所以数学选择了演绎推理。数学假设了那些包含无限、未知的公理，演绎出了整个数学大厦，必然和我们有限的经验发生矛盾！
任何数学问题只要其脱离经验的束缚都可以完全归结到逻辑。但世界不是按逻辑规则设计的，如果要使数学正确的统计世界，那么将数学的基础完全归结为逻辑是不可能的。不过思维设立数学的目的就是为了认识经验世界，而不是为了认识数学。我们不是需要作为逻辑的奴才的数学，而是需要一个适合统计经验世界的数学。虽然数学也有一些缺陷，但与语言的缺陷相比还是微不足道的，因为数学只统计事实，不指称价值。正因为如此，现代逻辑的表达方式走向数理化。
但是数学实在论者并不这样认为，他们认为数学与经验毫无关系，数学是纯粹的，像理想国中的理念一样！不完善的，只是现实世界中的数学关系。
还有数学本体论者，世界的本源就是数，不完善的是现实世界、理性、逻辑。
还有极端工具论者，他们认为数学只是一种游戏规则，可以随心所欲的设定！
注解：
① .亚里士多德《物理学》，84～85页，张竹明译，北京，商务印书馆，1982。
② .亚里士多德《物理学》，85页，张竹明译，北京，商务印书馆，1982。
③ 亚里士多德《物理学》87页，张竹明译，北京，商务印书馆，1982。
④ 欧几里得《几何原本》1页，兰纪正、朱恩宽译，西安，陕西科技出版社，2003。
