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一些对于n阶方程的思考



吐槽下
作为一个准大一新生
这可能是LZ的最后一贴


LZ发帖前没整理好思路
以下内容只是LZ高中时对n阶方程的一些思考
大家随意看看就行了


设函数f(x)=anx^n+a(n-1)x^(n-1)+……a1x+a0
曾经有一段时间LZ对5阶及以上方程做过一些努力
试图得到唯一的公式解
后来了解到已经有数学家证明了5阶及以上方程无带根号的公式解就放弃了


这个还没确定。。。


在最初的时候
我发现了三阶方程的对称点
即f(x+a)+f(x-a)=2f(x)
从几何方面上可以这样描述：
存在任意过定点x1的直线g(x)若与f(x)有两个交点x2,x3
则x2+x3=2x1,f(x2)+f(x3)=2f(x1)


恩，最后一夜大家都很high。


这个发现是由微积分引起的
可能大家对微积分还有一些疑问
课本上面并没有严密的微积分的证明过程
我在这里写下我的证明方法：
若函数f'(x)在[a,b]上存在原函数f(x)
设f'(x)在[a,b]上的积分为s
s=Limn→∞∑f’[a(k+1))-f（ak)][a（k+1）-ak]
设a=a1,b=an,a(k+1)-ak=ak-a(k-1)
Limn→∞f[a(k+1))-f（ak)]/[a（k+1）-ak]=f'（ak)
=>
Limn→∞f[a(k+1))-f（ak)]=f’[a(k+1))-f（ak)][a（k+1）-ak]
=>
s=f(b)-f(a)



设函数f(x)为三阶方程,f(x)==ax^3+bx^2+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c
∫f'(x)dx(上限-b/3a+△x，下限-b/3a-△x）
=2 ∫f'(x)dx(上限-b/3a+△x,下限-b/3a）
=2 ∫f'(x)dx(上限-b/3a,下限-b/3a-△x）
(由对称性可知）
=>
f(x+a)+f(x-a)=2f(x)（x=-b/3a)


三阶方程已经由塔塔利亚给出公式解
但化简过程比较繁琐
大家有兴趣可以去看，这里不再赘述。


某些同学可能对泰勒公式有些疑惑
实际上泰勒公式只是一种将函数值表达为多项式方程的过程
大家有时间的话可试试将函数值表达为ln之类的方程


在对高阶方程探索的过程中我发现了一些比较奇妙的结论
其中一个比较重要的结论是
设n阶方程f(x)存在n个零点x1、x2、...xn
设零点xk与另外的n-1个零点的差值为D1,D2……D(n-1)
那么D1·D2·……D(n-1)=f'(xk)
大家可以用一些方程试试这个结论是否正确？


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