从明天开始，争取每天更新两道题，一道北京几综，一道全国各地中考几何

【第12题】难度：2☆
【题目】（2019 北京）

【解析】我们直接看第（3）问。这一问非常有意思，要我们先写出一个OP的值，再证明对于任意点M均满足ON=QP.这也就意味着，我们要先求出OP的值（这个过程是在草稿纸上的，答题卡上无需呈现）。那么，我们应当先把ON=QP当做条件，求出OP的值。
首先我们画图如下：

在考场上，我们不可能一下子就作出非常标准的图，也没有时间让我们慢慢调整作图来达到非常标准，所以，我们这里用一个非常不标准的图来进行分析。
首先我们需要求的是OP的值，已知OH的长，∠AOB=30°，PM=PN，∠OMP=∠OPN，（由（2）问），并且ON=PQ.我们发现这个相等的两条线段之间并没有什么直接联系，这可能意味着我们要通过构造“全等”来转移条件。
第二，看到∠AOB=30°，并且要求OP的长，很容易想到过P作AQ垂线，这样，我们就能构造出一个含30°的直角三角形，这个特殊的三角形中边和角的条件非常容易转化。作PE⊥OA，这个辅助线有没有符合我的原则“有两个作用”。我们发现，做完垂直之后，有PM=PN，∠PMA=∠NPB（等角的补角相等），那么，我们似乎可以补出一对全等，即过N作ND⊥OB，则有△PME≌△NPD.那么，这个全等有什么作用呢？我们发现，又出来了一对全等，即Rt△ODN≌Rt△QEP（HL）！这样，我们就通过全等来联系起了所有的已知条件！现在，我们可以开始求OP的长了。

我们不妨假设EP=x，则OP=2x，现在，我们只需分别表示出EQ与OD的长，便可以通过方程解出x的值.可是我们发现，OD中还包括一个线段PD，这个线段似乎很难用x表示，那么干脆我们设PD=y=ME。那么OD=2x+y，我们现在只需表示出EQ即可！因为OH=√3+1，OE=√3x，那么EH=√3+1-√3x（我们这里假设E在H左侧），并且ME=y，则HQ=HM=√3+1-√3x+y，则EQ=HQ+EH=√3+1-√3x+y+√3+1-√3x=2√3+2-2√3x+y。
此时根据EQ=OD，可以得到2√3+2-2√3x+y=2x+y，2√3+2=2√3x+2x，解得x=1，则OP=2！
这时，我们仅仅完成了整一道题目的一般，我们求出了OP的长。现在，我们以OP的长为已知条件，试试能不能推出PQ=ON。

现在，OP=2为已知条件，我们要求出ON=PQ.那么我们依然容易得到△PME≌△NPD.那么我们需要求出△OND≌△QEP，我们已经有ND=PE，∠NDO=∠PEQ=90°，那么我们仍缺一个条件，既然OP已知，那么我们好像求出OD与EQ的边长更为“靠谱”。同样的，因为M为任意点，那么ME与PD不为定长，我们不妨假设PD=x=ME.那么OD=2+x，可以得到HE=OH-OE=√3+1-√3=1，那么MH=x+1=HQ，EQ=HQ=+EH=1+x+1=2+x=OD，那么则有△OND≌△QPE，即ON=PQ。
Q.E.D

【第13题】难度：1.5☆
【题目】（2019 江苏无锡）

【解析】在这里仅分析第（2）问.因为（1）①显然送分，②大概就是分类讨论+解方程……
首先来看这个题干。这个题干比较神奇，t<3其实就是点P在线段BC上时，t>3就是点P在线段BC延长线上时。我们来看，当点P在线段BC上时，存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立。这句话是什么意思呢？中考压轴题题干中有废话的可能性不大，我们先画一个图再说。

在矩形ABCD（注意是矩形）中，∠MAP=45°，并且有∠BAP=∠B'AP。又因为∠MAP=∠MAB'+∠B'AP=45°，故∠DAM+∠PAB=45°。则可以得到∠MDA=∠MAB'。然后又因为∠D=∠ABM=90°，结合AM为公共边，可以得到△ADM≌△ABM，即AD=AB'=AB！原来，这句话就是像告诉我们，ABCD为正方形。
那么当点P在射线BC上呢？我们再来画一个图

我们的目标是证明∠MAP=90°。我们来看看条件，由对称可以得到AB'=AB=AD，又∠B'=∠B=∠MDA=90°，结合AM为公共边，很容易得到△AMB'≌△AMD.这样，我们就可以得到角等。不妨假设∠B'AM=x=∠DAM，设∠DAP=y，则∠PAB=90°-y。又由对称可以得到∠PAB=∠PAB'，即90°-y=2x+y，2x+2y=90°，x+y=45°，即∠MAP恒等于45°.
Q.E.D

预计接下来更新的2019年中考压轴几何题（开学就无法更新了）：
江苏省：连云港、苏州、台州、宿迁
河南省
安徽省
甘肃省：兰州（A卷），天水
广西壮族自治区：北部湾经济区、梧州
贵州省：安顺、贵阳
黑龙江省：绥化、伊春
湖北省：十堰、武汉、襄阳
湖南省：常德、郴州
江西省
辽宁省：本溪、大连、沈阳
内蒙古自治区：通辽
山东省：德州、菏泽、济宁、泰安、枣庄、淄博（A卷）
四川省：乐山、南充、自贡
浙江省：金华、衢州、台州
重庆市（A、B卷）

來頂貼頂完考試去了

【第14题】难度：1☆
【题目】（2019 江苏泰州）

【解析】我们仅看第（3）问。
题目需要我们求△AEF的周长，我们发现题目中已知的线段长仅有AB=8，那么我们一定是要将△AEF的周长与AB联系在一起。那么我们考虑添加辅助线。我们发现这里存在一个“斜直角”，即∠APC，那么处理斜直角的常见辅助线便是构造“一线三等角”，我们作CM⊥BG，则可以得到△ABP≌△PMC.

那么我们来看，这个辅助线是否有“第二个作用”呢？当然有，就是CFBM为矩形！这个作用非常有利于进行边的转化。容易得到，BF=CM=BP。C△AEF=AF+EF+AE=AF+EF+CE=AF+CF=AF+BM=AF+BP+PM=AF+BF+AB=2AB=16.

【第15题】难度：1.5☆
【题目】（2019 江苏宿迁）

我们仅看第（3）问
容易得到∠AGC=∠ABC，则A,G,B,C四点共圆，设其圆心为O. 题目要求我们求出点G的运动路程，我们只需求出点G的轨迹即可.

点G在圆O上运动，但是很显然点G有一个运动范围.点G可以理解为射线AD与△ABC外接圆的交点.且D为顶点，但是BD的长是固定的，那么点D的轨迹为圆B. 那么点G的运动范围就一目了然了.由几何直观，显然可以得到，当AD与圆B相切时，弧BG取最大值. 另外，我们容易得到△AOC为等边三角形，即圆O半径为4.也就是说，当△BDE旋转90°时，弧BG达最大值，那么当旋转角超过90°时，点G变会往下走，当旋转角为180°时，点D便在AB延长线上了，也就是说此时点G与B重合。也就是说点G的运动路程为弧BG最大值的2倍！
我们现在只需求出当BD⊥AG时，弧BG的值就行了。

如图，我们只需求出红色的弧长即可.那么，我们来找条件，发现∠ADB=90°，AB=2BD，则sin∠DAB=0.5，∠DAB=30°.故∠GOB=60°！那么半径已知，圆心角已知，由弧长公式即可求弧BG的长，最后再乘以2即为答案。计算可得，答案为8π/3

【第16题】难度：2☆
【题目】（2019 河南）

【解析】我们看（2）和（3）（因为目测这两问好像有联系）。
首先看（2）问。这一问好像没啥水准，简单来说就是两个旋转相似的等腰Rt三角形。也就是说，∠PAC=∠DAB.那么，△PAC∽△DAB（SAS），则DB=√2CP.则可以得到∠PAC=∠DBA，由Q,C,B,A构成的“八字”可得∠CQB=∠CAB.

继续来看第（3）问。读题，点P在直线EF上，注意“直线”这个字眼，这个条件通常意味着此题需要分类讨论。
首先我们来分析点P可能的位置。

如图，假设点P,D,C三点共线时，会有什么情况呢？就是说△ACP为直角三角形，那么也就意味着点P在以AC为直径的圆上！当点P在直线AC右侧时，可以得到△APC为直角三角形，点P仍在以AC为直径的圆上。也就是说，满足题意的P即为以AC为直径的圆与直线EF的两个交点！
1）当点P在FE延长线上时，如图

首先可得∠DBA=∠PCA。注意到P,D,C三点共线，也就意味着△CPA为直角三角形，又E为斜边AC中点，则可以得到EP=EC，也就是说∠ECP=∠CPE。又因为EF为中位线，故∠CEF=45°=∠ECP+∠EPC，也就是说，∠PCA=22.5°。那么，由外角可得，∠DCA+∠DAC=∠PDA=45°，故DA=DC.那么题干里要我们求AD与CP的比值，这就很好求了。我们不妨假设DP=x，则DA=√2x=DC，故AD/CP=√2x/(x+√2x)=2+√2.
2）点P在线段EF上时，如图

同样的，点E为Rt△ACP的斜边中点，则有EA=EP，则∠EAP=∠EPA，且∠EAP+∠EPA=∠CEF=45°，则∠EAP=∠EPA=44.5°。那么∠EPC=∠APC-∠APE=67.5°，则在△CEP中，∠ECP=67.5°。又∠CAD=∠CAD+∠PAD=67.5°。我们不妨设PD=x，则AD=CD=√2x，则CP=√2x-x，则AD/CP=√2x/（√2x-x）=2+√2.
故答案为2+√2

每周末停更

【第17题】难度：1.5☆
【题目】（2019 广西北部湾经济区）

【解析】本帖我们来搞建系解法（主要是几何解法太简单，周末时间少，懒得画图写分析）

如图，以A为原点建立平面直角坐标系，不妨假设正方形ABCD边长为2，可得A（0,0），B（2,0），C（2,2），D（0,2），E（1,0），F（0,1）
（2）问：

（3）问：

膜

贴吧名字不是我改的。。然而好像得等好长时间才能改回来。。

【第1题】难度：2☆
【题目】（北京市西城区期末，有修改）

【分析】我们仅看（2）问。这个题的提问方式和2019年北京中考一样，都是先要写出一个满足条件的值，再反过来证明。那么我们应该先把MP=0.5AP当作已知条件，求出n的值。
根据题目，既然对于任意点P都成立，那么我们不妨取一个特殊点来计算n的值。我们令CP=AC。

如图，显然当点Q在旋转时，点M的轨迹为一个圆（中位线），半径为0.5CP。又题目要求PM=0.5AP，那么点M应该在以P为圆心，0.5AP为半径的圆上。那么两个圆的交点即为点M的位置。不难得到，△AM1P为含30°的直角三角形（为什么？），而M2位AP中点。那么我们分别来求n的值。

由中位线，不难得到∠BPQ1=∠BCM1=120°，∠BPQ2=∠BCM2=∠BCA+∠ACM2=130°。故n=120°或240°。
接下来我们分别验证一下这两个值是否对直线上任意点P都成立。
（1）当n=120°时

如图，点M为BQ中点，对于中点的常见辅助线为“倍长过中点线段”。倍长PM至N。此时，有BN=PQ=AC且BN∥PQ。那么，由于∠CPQ=120°，又∠ACP=120°，则AC∥PQ，则BN∥AC，就意味着∠PBN=∠ACB=60°，那么∠ABN=∠ABC+∠CBN=120°=∠ACP。故△ABN≌△ACP（SAS），故得到AN=AP，∠NAP=60°，则△ANP为等边△。又M为NP中点，故MP=0.5AP，说明当n=120°时，满足题目条件。
（2）当n=240°时

我们还是那样，倍长PM至N，做完图后发现，点N似乎在AB上！那么我们证明三点共线是比较困难的，不妨直接延长PM交AB于N，来证明NM=MP！当n=240°时，∠APQ=120°，结合∠ABC=60°，故AB∥PQ。那么就得到∠ABM=∠MQP，结合为中点，∠NMB与∠PMQ为对顶角，可以得到△NBM≌△PQM，故NM=MP。那么，M为BQ中点，M为NP中点，这时我们发现，BNQP为平行四边形！很自然的，连接NQ。那么我们现在只需证PN=AP即可！这能否仅通过导角完成呢？简单试了一下，似乎导不出来，那么，我们接下来考虑全等。在图中，我们并没有发现现成的全等，那么就意味着可能需要我们来构造条件。注意NQ=BP=BC+CP=AC+CP，那么我们只需截取QD=CP，就出现了相等边。并且QD=CP=PQ，结合∠DQP=60°，则△PQD为等边三角形，也就是说DP=CP，∠NDP=∠ACP=120°，那么就可以得到△ACP≌△NDP（SAS），即NP=AP，PM=0.5AP。
综上所述，n=120°或240°

【第19题】难度：1☆
【题目】（2019-2020 清华附中3月月考）

【分析】（2）问，我们很容易作出图，通过“几何直观”，盲猜α=90°。我们接下来证明这一点。

如图，既然A,B关于ON对称，那么，很自然的，连接AB和CA，这个时候我们发现，CA=CB=CD，即A,B,D在以C为圆心的圆上！并且，AB⊥ON，故∠OAB=45°，∠BCD=2∠OAB=90°。
（3）按照题目要求补全图形。

我们发现，∠DCB为90°，∠E为90°，这已经很明显暗示我们构造“一线三等角”了……所以连接AB交ON于F，则∠BFC=90°，故△CDE≌△BCF，则CE=BF=AF。故OA=√2FA=√2CE。
【吐槽】水。。。。。。。。。。。。